Wiskundeforum

Ik heb volgende opgave:

4x² - 8x -5 ontbonden in (2x + 1)(2x -5). Dit doe ik met trial and error, en zo kom ik er wel.

Maar ik heb een vorm (x - y)² + 6(x - y) + 5
die is volgens mijn boek = (x - y + 1)(x - y + 5). Ik kan wel van deze vorm naar bovenstaande vorm werken, maar ik weet niet hoe ik de bovenste vorm moet ontbinden? Hoe begin je aan zoiets?

Ik had (x - y) als gemeenschappelijke factor gezien, en had dus:
(x - y)(x - y + 6) + 5
Maar verder raak ik niet. Of ben ik verkeerd begonnen?

Je kan eens beginnen met te stellen: x-y=p
zodat je krijgt:
p^2+6p+5

Kan je dat ontbinden?

David schreef:Je kan eens beginnen met te stellen: x-y=p
zodat je krijgt:
p^2+6p+5

Kan je dat ontbinden?

Ontbinden kan ik dat niet. Ik merk wel dat als ik de wortels zoek (via de discriminant), ik -1 en -5 uitkom.
Dus dat wil zeggen dat p² + 6p + 5 = 0 als (p - (-1)) = 0 of (p -(-5)) = 0.
anders gezegd: als (p+1)(p+5) = 0
Ik heb dus net de andere schrijfwijze voor p² + 6p + 5 ontdekt!
Je had p gelijkgesteld met x-y, dus dat geeft:
(x-y+1)(x-y+5)
Bedankt, dat was een gouden tip (en een methode die ik niet kende).

Wat je deed is goed.

Het kan ook nog op een andere manier, namelijk met de som-product methode.
Neem daarvoor aan dat in de ontbinding (x+p)(x+q), p en q geheel zijn. Anders wordt het vaak onbegonnen werk.

Je zoekt 2 getallen die opgeteld 6 zijn en vermenigvuldigd 5.
In het begin kan je voor jezelf nog even de "T" tekenen, met bovenop het product, ofwel de coëfficiënt c (uit ax^2+bx+c) of wel 5. Links en recht schrijf je de ontbindingen in hele getallen van het getal 5. Zowel met positieve als negatieve getallen. Deze "paren" tel je bij elkaar op. De waarden voor p en q zijn de waarden die opgeteld de "som" ofwel coëfficiënt b, ofwel in dit geval 6 zijn. Hoeveel ontbindingen zijn er voor 5? Kan je nu op deze manier de ontbinding vinden voor x^2+6x+5 ofwel de waarden voor p en q in (x+p)(x+q)?

Als we ax² + bx + c = p² + 6p + 5 nemen, dan moeten we c = 5 ontbinden in zijn gehele factoren:

1 en 5
-1 en -5

De sommen hiervan zijn 6 en -6. Enkel de eerste = b= 6 uit onze opgave. Dus de factoren zijn (x + 1)(x + 5)

Ik neem een ander voorbeeld ter bevestiging:

x² - 3x - 18. Hierin b = -3 en c = -18
Als we c onbinden in gehele getallen, vinden we:
1, -18
-1, 18
2, -9
-2, 9
3, -6
-3, 6
We hebben dat paar nodig waarvan de som = -3. Enkel (3, -6) voldoet hieraan.
Dus x² - 3x - 18 = (x +3)(x-6)