cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door SafeX » 26 feb 2011, 10:51

idefix schreef: Dus hebben we nu aangetoond, dat als (x1, y1) op E1 ligt, en we willen dat hij op de derde cirkel ligt, dat hij dan ook op E2 moet liggen.
Precies.

Dus als de beide cirkels E1 en E2 snijptn hebben, dan zijn dit ook ptn van de derde verg voor alle waarden van k, ook voor k=-1.
En nu:
idefix schreef: Omgekeerd, toon ook aan dat elke zulke cirkel door een dergelijke vergelijking kan voorgesteld worden.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door idefix » 26 feb 2011, 10:59

SafeX schreef:
idefix schreef: Dus hebben we nu aangetoond, dat als (x1, y1) op E1 ligt, en we willen dat hij op de derde cirkel ligt, dat hij dan ook op E2 moet liggen.
Precies.

Dus als de beide cirkels E1 en E2 snijptn hebben, dan zijn dit ook ptn van de derde verg voor alle waarden van k, ook voor k=-1.
voor alle duidelijkheid: voor k = -1 is dit toch geen cirkel meer maar een lijn door de snijpunten van E1 en E2?
Dat zie ik toch juist?

en dan ga ik nu aan het aantonen van de omgekeerde bewering beginnen (nl. dat dat elke zulke cirkel door een dergelijke vergelijking kan voorgesteld worden)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door SafeX » 26 feb 2011, 11:41

idefix schreef:
SafeX schreef: Dus als de beide cirkels E1 en E2 snijptn hebben, dan zijn dit ook ptn van de derde verg voor alle waarden van k, ook voor k=-1.
voor alle duidelijkheid: voor k = -1 is dit toch geen cirkel meer maar een lijn door de snijpunten van E1 en E2?
Dat zie ik toch juist?
Dat zie je juist, maar kijk nog eens naar mijn formulering. Ik heb het over de derde verg en niet over een derde cirkel.
Bij k=-1 hebben we een lijn maar die lijn bevat wel de gemeenschappelijke ptn van E1 en E2.

Overigens is het niet noodzakelijk dat E1 en E2 ptn gemeenschappelijk hebben. Ben je het hiermee eens?

Misschien is het toch belangrijk dat je vb kiest voor E1 en E2 en nagaat (dus tekenen) wat je krijgt voor een aantal waarden van k.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door idefix » 26 feb 2011, 12:25

SafeX schreef: Overigens is het niet noodzakelijk dat E1 en E2 ptn gemeenschappelijk hebben. Ben je het hiermee eens?
Ja, want als de som van de stralen van E1 en E2 groter is dan de afstand tussen hun middelpunten, dan hebben ze geen snijpunt(en).
Als de som van hun stralen exact gelijk is aan de afstand tussen hun middelpunten, dan hebben ze 1 snijpunt. Dat licht dan op de rechte tussen de middelpunten.
Anders hebben ze twee snijpunten.

Ik ga nu eens tekenen met enkele waarden voor k.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door idefix » 26 feb 2011, 13:36

voor E1: (x-2)² + (y-1)² = 16 (cirkel met middelpunt (2,1) en straal 4)
voor E2: (x-6)² + (y-4)² = 9 (cirkel met middelpunt (6,4) en straal 3)

Anders gezegd:
E1: x² + y² - 4x - 2y - 11 = 0
E2: x² + y² - 12x - 8y + 43 = 0

Als ik k = -1 neem:

x² + y² - 4x - 2y - 11 -(x² + y² - 12x - 8y + 43) = 0
x² + y² - 4x - 2y - 11 - x² - y² + 12x + 8y - 43 = 0
8x + 6y - 54 = 0
Dit is de vergelijking van de lijn door de snijpunten van E1 en E2.

Als ik k = 1 neem:
(x-4)² + (y -5/2)² = (5/2)²

Als ik k = 3 neem:
(x-5)² + (y -13/4)² = 97/16 (de straal is ongeveer 2.46)

Als ik k = 5 neem:
(x- 16/3)² + (y -7/2)² = 241/36 (de straal is ongeveer 2.59)

Als ik k = -2 neem:
(x-10)² + (y -7)² = 52 (de straal is ongeveer 7.2)

Als ik k = -5 neem:
(x-7)² + (y -19/4)² = 241/16 (de straal is ongeveer 3.88)

Dus voor elke k (behalve k = -1) ligt het middelpunt van de cirkel op de lijn tussen de middelpunten van E1 en E2, en gaat de cirkel door de snijpunten van E1 en E2.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door SafeX » 26 feb 2011, 14:31

Ik heb niet alles gecontroleerd, maar het ziet er goed uit.

Klopt jouw tekening?

Dit is een vb van een cirkelbundel en de lijn is de machtlijn van de bundel in overeenstemming met de definitie van machtlijn van (twee) cirkels.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door idefix » 26 feb 2011, 14:58

SafeX schreef:Ik heb niet alles gecontroleerd, maar het ziet er goed uit.

Klopt jouw tekening?

Dit is een vb van een cirkelbundel en de lijn is de machtlijn van de bundel in overeenstemming met de definitie van machtlijn van (twee) cirkels.
De tekening klopt: elke cirkel heb ik getekend met de passer en ze snijden allemaal elkaar in de snijpunten van E1 en E2.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: cirkel door snijpunten van 2 cirkels

Bericht door SafeX » 26 feb 2011, 15:25

Mooi!

Plaats reactie