Wiskundeforum

Stel cirkels E1 en E2:



Toon aan dat voor elke k (niet gelijk aan -1):


de vergelijking is van een cirkel door de snijpunten van E1 en E2.
Omgekeerd, toon ook aan dat elke zulke cirkel door een dergelijke vergelijking kan voorgesteld worden.

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen.
Ik weet dat de standaardvgl. voor E1 is:


Analoog voor E2.

Ik weet ook dat als we de snijpunten zoeken, we zeggen:

waaruit volgt:


Kan iemand een hint geven in welke richting ik moet zoeken? Dank bij voorbaat.

idefix schreef:Stel cirkels E1 en E2:



Toon aan dat voor elke k (niet gelijk aan -1):


de vergelijking is van een cirkel door de snijpunten van E1 en E2.
Omgekeerd, toon ook aan dat elke zulke cirkel door een dergelijke vergelijking kan voorgesteld worden.

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen.
Ik weet dat de standaardvgl. voor E1 is:


Analoog voor E2.

Ik weet ook dat als we de snijpunten zoeken, we zeggen:

waaruit volgt:


Kan iemand een hint geven in welke richting ik moet zoeken? Dank bij voorbaat.

Kijk naar de formules van cirkel 1 (P) en cirkel 2 (Q).

De gegeven formule is dan

Kan je laten zien dat als P = 0 en Q = 0, dat dan ook P+kQ = 0?

Kan je ook vertellen waarom er moet gelden dat ?

Dit helpt al iets met het begrijpen wat er aan de hand is.

P + kQ = 0.

Als Q = 0, dan is kQ = 0 voor elke k
Als dus P = 0 en Q = 0, dan is P + kQ inderdaad = 0

Als k = -1, dan kunnen we de x² en y² uit beide vgl schrappen en hebben we een lineaire vgl.

Heb je door dat elk punt van E1 geeft verg E1 voldoet.
Eveneens elk punt van E2 geeft verg E2 voldoet.
Welke ptn voldoen dan aan de derde verg ongeacht de waarde van k.

SafeX schreef:Heb je door dat elk punt van E1 geeft verg E1 voldoet.

Bedoel je dat elk punt van de cirkel E1 voldoet aan de vgl. van E1? Ja, dat heb ik door.
Eveneens voldoet elk punt van E2 aan vgl. E2.

SafeX schreef: Welke ptn voldoen dan aan de derde verg ongeacht de waarde van k.

Elk punt van E1 en van E2
want E1 + k E2 = 0

Neem een willekeurig punt van E1, dus die verg geeft 0, maar k maal de verg van E2?
Kijk ook naar een punt van E2. Hoe zit het dan?

SafeX schreef:Neem een willekeurig punt van E1, dus die verg geeft 0, maar k maal de verg van E2?
Kijk ook naar een punt van E2. Hoe zit het dan?

sorry, SafeX, ik snap niet wat je wil zeggen.

Ok, Stel (0,0) is een punt van E1 maar niet van E2.
Wat weet je nu van C1?
En van C2?

SafeX schreef:Ok, Stel (0,0) is een punt van E1 maar niet van E2.
Wat weet je nu van C1?
En van C2?

Als (0,0) op E1 ligt, dan is C1 = 0, anders klopt de vgl. van E1 niet.
Als (0,0) niet op E2 ligt, dan is C2 verschillend van 0.

Mooi, bekijk dan nu m'n vorige vraag.

\\edit: ik denk dat ik het heb. Ik kom meteen terug.

Dus als we een punt (x1, y1) nemen dat op E1 ligt, dan:



en dus ligt het punt op de derde cirkel als



Dus ook voor:


en bijgevolg ook voor :



(het eerste deel is toch = 0).

Als we een punt (x2, y2) beschouwen dat op E2 ligt, dan ligt dat ook op de derde cirkel als
het op E1 ligt. Als het op E2 ligt, is de vergelijking voor E2 namelijk = 0, dus ook k maal deze vergelijking = 0.

Ik zie je conclusie niet ... ?
Is elk punt van de E1 ook punt van de derde cirkel?

Iig heb je door, dat de derde verg een cirkel (derde cirkel) voorstelt. Maar pas op daar hoort dan wel een bepaalde k bij. Maw je moet eerst k kiezen om tot een derde cirkel te komen.

Als we een punt (x1, y1) op E1 nemen, dan geldt:



Als we nu willen dat dit punt op de derde cirkel ligt, moet het voldoen aan:



Maar het eerste deel is de vgl van E1, en deze is 0. Dus geldt:



voor elke k, behalve k = -1, want in dat geval worden in de vgl van de derde cirkel de kwadraten geschrapt en hebben we een lineaire vgl.

Dus hebben we nu aangetoond, dat als (x1, y1) op E1 ligt, en we willen dat hij op de derde cirkel ligt, dat hij dan ook op E2 moet liggen.

idefix schreef:
Analoog voor E2.

Misschien helpt het om dit verder uit te werken, zodat

idefix schreef:

Evenzo voor .