Bewijs: irrationale wortels

Integraalrekening, afgeleiden, rijen, convergentie & divergentie van reeksen, meervoudige integratie.
Plaats reactie
idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Bewijs: irrationale wortels

Bericht door idefix » 28 mar 2011, 14:11

Bewijs dat, als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dat de vierkantswortel van n irrationaall is.

Tip: Als p,q positieve gehele getallen zijn zodat (p/q)² = n, en k is een positief geheel getal zodat

k < p/q < k+1, toon dan aan dat:
(1)

en

(2)

en leid hieruit een contradictie af.

Dit is mijn aanvang van het bewijs:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1 (densiteitseigenschap van reële getallen)
Dus:
(k van elk lid aftrekken)
en dus:
(elk lid met q vermenigvuldigen)

Dus (1) is geldig.

Nu hebben we

en dus:

dus ook:

en uiteindelijk:

Dus (2) is ook geldig.

Hieruit moet ik een contradictie afleiden, maar hoe ik ook puzzel en zoek, ik vind er geen.
Iemand een tip?
Laatst gewijzigd door idefix op 28 mar 2011, 19:07, 1 keer totaal gewijzigd.

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1144
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door Sjoerd Job » 28 mar 2011, 15:01

Stel dat de kleinste is waarvoor een te vinden is. Toch is er een kleinere...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door idefix » 28 mar 2011, 15:40

Sjoerd Job schreef:Stel dat de kleinste is waarvoor een te vinden is. Toch is er een kleinere...
Bedoel je dat ik moet stellen dat p en q geen gemeenschappelijke factoren hebben (de breuk p/q is helemaal vereenvoudigd)? En dan aantonen dat er toch een kleinere q bestaat?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door op=op » 28 mar 2011, 17:54

Nee, dat is niet nodig.
Er is een kleinste positief gehele getal waarvoor .
Je kunt met (1) + (2) aantonen dat als de kleinste is, dat er nog een kleine is (wat natuurlijk niet kan).

Enige opmerkingen:
idefix schreef: Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1 (densiteitseigenschap van reële getallen)
Niet algemeen waar. Neem b.v. p/q = 5/1.
idefix schreef: Nu hebben we

en dus:
Zou je die tweede bewering even voor me uit de eerste willen bewijzen?

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door idefix » 28 mar 2011, 19:01

@op=op: betreffende je opmerkingen:

Opmerking 1:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1: hieraan moeten we de beperking toevoegen: en

Opmerking 2:

(beide leden vermenigvuldigen met p²)
(zelfde hoeveelheid van beide leden aftrekken)
(beide leden delen door p² - kpq)

Ik hoop dat deze antwoorden volstaan. Dan ga ik nu verder met de opgave...

(alvast bedankt voor de opmerkingen)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door arno » 28 mar 2011, 19:05

Opmerking: irrationeel/irrationele moet irrationaal/irrationale zijn.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: Bewijs: irrationele wortels

Bericht door idefix » 28 mar 2011, 19:07

arno schreef:Opmerking: irrationeel/irrationele moet irrationaal/irrationale zijn.
fout verbeterd. :D

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: Bewijs: irrationale wortels

Bericht door idefix » 28 mar 2011, 20:49

Stel q = het kleinste getal waarvoor geldt

Uit (2) volgt dat er nog een getal q bestaat (namelijk: p-kq met p = nq -kp) en uit (1) volgt dat dit getal (p -kq) kleiner is dan q. Dit is dus in tegenspraak met de aanname dat q het kleinste getal was waarvoor geldt . We hebben hier dus een contradictie, waardoor we aantonen dat de oorspronkelijke aanname niet kan.

Dus kan geen rationaal getal zijn, dus is het irrationaal.

correct?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1087
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: Bewijs: irrationale wortels

Bericht door op=op » 28 mar 2011, 21:37

Helemaal correct.
Die kleine opmerkingen van mij lijken misschien mierenneukerij, maar zijn belangrijk, omdat in een bewijs geen slordigheden mogen zitten. Menig bewijs sneuvelt vanwege een kleinigheidje.

Hoe kom je erbij te schrijven dat uit

volgt:
?

Het volgt ook uit 0+0=0, want
is altijd waar, wat p,q en k ook zijn, zolang de noemer maar niet nul is.

idefix
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 230
Lid geworden op: 26 feb 2010, 18:27

Re: Bewijs: irrationale wortels

Bericht door idefix » 29 mar 2011, 08:59

Ik moest aantonen dat (2) waar was.
In plaats van (2) af te leiden, heb ik de omgekeerde weg bewandeld: ik ben begonnen bij (2) en ben uitgekomen bij .

Daarvoor was de tussenstap nodig die u vermeldt. Nog eens bedankt.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Bewijs: irrationale wortels

Bericht door David » 29 mar 2011, 16:20

Als alternatief bewijs kan je ook gebruiken:

- Als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dan is de vierkantswortel van n een irrationaal getal.

- De vierkantswortel van een irrationaal getal is een irrationaal getal.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie