Bewijs: irrationale wortels
Bewijs: irrationale wortels
Bewijs dat, als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dat de vierkantswortel van n irrationaall is.
Tip: Als p,q positieve gehele getallen zijn zodat (p/q)² = n, en k is een positief geheel getal zodat
k < p/q < k+1, toon dan aan dat:
(1)
en
(2)
en leid hieruit een contradictie af.
Dit is mijn aanvang van het bewijs:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1 (densiteitseigenschap van reële getallen)
Dus:
(k van elk lid aftrekken)
en dus:
(elk lid met q vermenigvuldigen)
Dus (1) is geldig.
Nu hebben we
en dus:
dus ook:
en uiteindelijk:
Dus (2) is ook geldig.
Hieruit moet ik een contradictie afleiden, maar hoe ik ook puzzel en zoek, ik vind er geen.
Iemand een tip?
Tip: Als p,q positieve gehele getallen zijn zodat (p/q)² = n, en k is een positief geheel getal zodat
k < p/q < k+1, toon dan aan dat:
(1)
en
(2)
en leid hieruit een contradictie af.
Dit is mijn aanvang van het bewijs:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1 (densiteitseigenschap van reële getallen)
Dus:
(k van elk lid aftrekken)
en dus:
(elk lid met q vermenigvuldigen)
Dus (1) is geldig.
Nu hebben we
en dus:
dus ook:
en uiteindelijk:
Dus (2) is ook geldig.
Hieruit moet ik een contradictie afleiden, maar hoe ik ook puzzel en zoek, ik vind er geen.
Iemand een tip?
Laatst gewijzigd door idefix op 28 mar 2011, 19:07, 1 keer totaal gewijzigd.
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: Bewijs: irrationele wortels
Stel dat de kleinste is waarvoor een te vinden is. Toch is er een kleinere...
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Re: Bewijs: irrationele wortels
Bedoel je dat ik moet stellen dat p en q geen gemeenschappelijke factoren hebben (de breuk p/q is helemaal vereenvoudigd)? En dan aantonen dat er toch een kleinere q bestaat?Sjoerd Job schreef:Stel dat de kleinste is waarvoor een te vinden is. Toch is er een kleinere...
Re: Bewijs: irrationele wortels
Nee, dat is niet nodig.
Er is een kleinste positief gehele getal waarvoor .
Je kunt met (1) + (2) aantonen dat als de kleinste is, dat er nog een kleine is (wat natuurlijk niet kan).
Enige opmerkingen:
Er is een kleinste positief gehele getal waarvoor .
Je kunt met (1) + (2) aantonen dat als de kleinste is, dat er nog een kleine is (wat natuurlijk niet kan).
Enige opmerkingen:
Niet algemeen waar. Neem b.v. p/q = 5/1.idefix schreef: Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1 (densiteitseigenschap van reële getallen)
Zou je die tweede bewering even voor me uit de eerste willen bewijzen?idefix schreef: Nu hebben we
en dus:
Re: Bewijs: irrationele wortels
@op=op: betreffende je opmerkingen:
Opmerking 1:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1: hieraan moeten we de beperking toevoegen: en
Opmerking 2:
(beide leden vermenigvuldigen met p²)
(zelfde hoeveelheid van beide leden aftrekken)
(beide leden delen door p² - kpq)
Ik hoop dat deze antwoorden volstaan. Dan ga ik nu verder met de opgave...
(alvast bedankt voor de opmerkingen)
Opmerking 1:
Er bestaat een positief geheel getal k zodat k < p/q < k+1: hieraan moeten we de beperking toevoegen: en
Opmerking 2:
(beide leden vermenigvuldigen met p²)
(zelfde hoeveelheid van beide leden aftrekken)
(beide leden delen door p² - kpq)
Ik hoop dat deze antwoorden volstaan. Dan ga ik nu verder met de opgave...
(alvast bedankt voor de opmerkingen)
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1923
- Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
- Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant
Re: Bewijs: irrationele wortels
Opmerking: irrationeel/irrationele moet irrationaal/irrationale zijn.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Re: Bewijs: irrationele wortels
fout verbeterd.arno schreef:Opmerking: irrationeel/irrationele moet irrationaal/irrationale zijn.
Re: Bewijs: irrationale wortels
Stel q = het kleinste getal waarvoor geldt
Uit (2) volgt dat er nog een getal q bestaat (namelijk: p-kq met p = nq -kp) en uit (1) volgt dat dit getal (p -kq) kleiner is dan q. Dit is dus in tegenspraak met de aanname dat q het kleinste getal was waarvoor geldt . We hebben hier dus een contradictie, waardoor we aantonen dat de oorspronkelijke aanname niet kan.
Dus kan geen rationaal getal zijn, dus is het irrationaal.
correct?
Uit (2) volgt dat er nog een getal q bestaat (namelijk: p-kq met p = nq -kp) en uit (1) volgt dat dit getal (p -kq) kleiner is dan q. Dit is dus in tegenspraak met de aanname dat q het kleinste getal was waarvoor geldt . We hebben hier dus een contradictie, waardoor we aantonen dat de oorspronkelijke aanname niet kan.
Dus kan geen rationaal getal zijn, dus is het irrationaal.
correct?
Re: Bewijs: irrationale wortels
Helemaal correct.
Die kleine opmerkingen van mij lijken misschien mierenneukerij, maar zijn belangrijk, omdat in een bewijs geen slordigheden mogen zitten. Menig bewijs sneuvelt vanwege een kleinigheidje.
Hoe kom je erbij te schrijven dat uit
volgt:
?
Het volgt ook uit 0+0=0, want
is altijd waar, wat p,q en k ook zijn, zolang de noemer maar niet nul is.
Die kleine opmerkingen van mij lijken misschien mierenneukerij, maar zijn belangrijk, omdat in een bewijs geen slordigheden mogen zitten. Menig bewijs sneuvelt vanwege een kleinigheidje.
Hoe kom je erbij te schrijven dat uit
volgt:
?
Het volgt ook uit 0+0=0, want
is altijd waar, wat p,q en k ook zijn, zolang de noemer maar niet nul is.
Re: Bewijs: irrationale wortels
Ik moest aantonen dat (2) waar was.
In plaats van (2) af te leiden, heb ik de omgekeerde weg bewandeld: ik ben begonnen bij (2) en ben uitgekomen bij .
Daarvoor was de tussenstap nodig die u vermeldt. Nog eens bedankt.
In plaats van (2) af te leiden, heb ik de omgekeerde weg bewandeld: ik ben begonnen bij (2) en ben uitgekomen bij .
Daarvoor was de tussenstap nodig die u vermeldt. Nog eens bedankt.
Re: Bewijs: irrationale wortels
Als alternatief bewijs kan je ook gebruiken:
- Als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dan is de vierkantswortel van n een irrationaal getal.
- De vierkantswortel van een irrationaal getal is een irrationaal getal.
- Als n een positief geheel getal is dat geen perfecte tweedemacht is, dan is de vierkantswortel van n een irrationaal getal.
- De vierkantswortel van een irrationaal getal is een irrationaal getal.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)