Wiskundeforum

Bewijs: $a^2 + b^2 = 1, c^2 + d^2 = 1 \Rightarrow ac + bd \leq 1$

Kan iemand een eerste hint geven? Ik vond op internet een mooi bewijs met sinus en cosinus, maar ik denk dat het voor deze opgave de bedoeling is, zonder sin en cos te werken.

Dank om niet het volledige bewijs te geven, maar een hint. Ik heb al enkele gelijkaardige bewijzen kunnen maken, maar met deze zit ik strop...

Ga uit van (a-c)²+(b-d)², waarom is deze vorm niet begatief?

(a - c)² + (b - d)² is niet negatief, omdat een kwadraat nooit negatief kan zijn, dus de som van 2 kwadraten kan ook niet negatief zijn.
Dus hebben we:

$(a-c)^2 + (b-d)^2 \geq 0$ (het geval dat a = c en b = d geeft (a - c)² + (b - d)² = 0)
Uitwerken van de merkwaardige producten:

$a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bd + d^2 \geq 0$
Herschikken van de termen:
$(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) - 2ac - 2 bd \geq 0$
$1 + 1 -2(ac+bd) \geq 0$
$2 -2(ac+bd) \geq 0$
$-2(ac+bd) \geq -2$
Delen door negatief getal verandert de zin van de ongeljkheid.
$ac+bd \leq \frac{-2}{-2}$
$ac+bd \leq 1$

Dank je wel voor de gouden tip. Als ik erover nadenk, moet ik wel toegeven dat ik nooit op jouw uitgangspunt ((a-c)²+(b-d)²) zou gekomen zijn, maar dat zal ervaring zijn, zeker?

idefix schreef: $2 -2(ac+bd) \geq 0$
$-2(ac+bd) \geq -2$

Vanaf hier doe je het niet handig.
$2 -2(ac+bd) \geq 0$
$2(1 -(ac+bd))\geq 0$
$1 -(ac+bd)\geq 0$
$1\geq ac+bd$

Maar het blijft een kwestie van 'smaak'.

Wat betreft het uitgangspunt: Je moet kiezen tussen (a+c)²en (b+d)² of de door mij gemaakte keuze. Waarom?

Inderdaad is jouw manier 'mooier' of 'netter', als ik het zo mag zeggen.
Jouw vraag begrijp ik niet goed.

Je moet toch de producten ac en bd bekijken ...

Sorry maar ik snap niet waar je heen wilt.

Bedoel je waarom je niet (a+c)² + (b+d)² genomen hebt ipv (a-c)² + (b-d)²?

Volgens mij bedoelt SafeX waarom je juist een van de 2 gegeven vormen het beste kan kiezen, en niet bijv. (a+b)^3-(c+d)^3. Wat kan je van beide vormen gebruiken?

Als je uitgaat van (a+c)² + (b+d)² dan krijg je

$1 \geq -(ac + bd)$

En er is niet gevraagd om dat te bewijzen.

En als je beide koppelt ...

Bedoel je

$1 \geq -(ac + bd)$
en
$1 \geq ac + bd$

koppelen? Ik versta echt niet waar je heen wil, sorry. Kun je je vraag anders stellen?

idefix schreef:Bedoel je

$1 \geq -(ac + bd)$
en
$1 \geq ac + bd$

koppelen? Ik versta echt niet waar je heen wil, sorry. Kun je je vraag anders stellen?

$ac + bd \geq -1$
en
$1 \geq ac + bd$

$-1 \leq ac + bd \leq 1$

En dit kan je nog korter schrijven ...

Precies!

Merci, SafeX!

Wiskundeforum

bewijs een ongelijkheid

bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid

Re: bewijs een ongelijkheid