regels om limieten te berekenen

[idefix]

Dit is een opgave uit een stuk over regels om limieten te berekenen:

Als


zoek

Ik weet het antwoord (staat in het boek), maar ik raak er niet wijs uit hoe men eraan komt. De x- 2 uit de noemer speelt me parten.

[Sjoerd Job]

Dit is een opgave uit een stuk over regels om limieten te berekenen:

Als


zoek

Ik weet het antwoord (staat in het boek), maar ik raak er niet wijs uit hoe men eraan komt. De x- 2 uit de noemer speelt me parten.

Intuïtief zou ik zeggen: als de limiet niet 5 is, kan de limiet daarboven niet bestaan.

[SafeX]

Het mag duidelijk zijn dat je het gegeven moet gebruiken ...

Wat levert je dit op?

[idefix]

Dus als ik 2 invul ipv x, krijgen we:


Ik had problemen met dat delen door 2-2 = 0, maar omdat het de limiet is naar 2, klopt dit niet. Het is "bijna 2 - 2 = bijna 0", dus in die zin is het toegelaten.

Verder:






Dit stemt overeen met de oplossing uit het boek.

[SafeX]

Ja heel goed, maar je kan nog eenvoudiger te werk gaan. In de limietovergang wordt de noemer 0, het resultaat is een reeel getal. Conclusie de teller moet, in de limietovergang, ook 0 zijn of:

[idefix]

Ja, ik zie het. Bedankt.

[SafeX]

Ok, zie je ook kans f(x) als een functie te schrijven (dat wordt niet gevraagd)?

[idefix]

Ja, als volgt:









Dan kloppen beide limieten.

[SafeX]

Ja, als volgt:

OK!

Maar wat denk je hiervan:

[idefix]

Maar wat denk je hiervan:

Dit kan voor elke functie g(x) waarvoor g(2) = 1, zoals bvb







...


...
Er zijn dus oneindig veel mogelijkheden voor f(x) in de vorm

[Sjoerd Job]

Maar wat denk je hiervan:

Dit kan voor elke functie g(x) waarvoor g(2) = 1, zoals bvb







...


...
Er zijn dus oneindig veel mogelijkheden voor f(x) in de vorm

Niet helemaal, als gegeven is, bijvoorbeeld , dan moet gelden.
In het algemeen: , als en .

[idefix]

In het algemeen: , als en .

Zit hier geen tegenspraak in? en ?

[SafeX]

In het algemeen: , als en .

Dit is niet juist want g(2) is een reëel getal ...

[Sjoerd Job]

In het algemeen: , als en .

Zit hier geen tegenspraak in? en ?

Nee, voor de ene uitdrukking mag niet gelijk aan 2 zijn, dus zit er een gat in het domein van , dat vullen we op door op een andere definitie te kiezen.

(Trouwens, als geldt , geldt dus , dus is de enige keuze die continu in 2 maakt, maar als je daar niet geinteresseerd bent, mag je volledig willekeurig kiezen (zoals SafeX opmerkt).

[idefix]

OK, dank jullie wel, allebei.