en het product divergeert naar 0. Dit is een voorbeeld van een product dat divergeert, hoewel de factor in de limiet convergeert naar 1.SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:wnvl schreef:
oneindig lange formules
Re: oneindig lange formules
Re: oneindig lange formules
OK, je bedoelt met het product van de eerste n factoren, dit divergeert inderdaad naar nul als n naar oneindig gaat. Ik dacht dat je met de n'de factor bedoelde, die naar 1 convergeert als n naar oneindig gaat.SafeX schreef:
Re: oneindig lange formules
Heb je dit dan wel goed gelezen?
SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:wnvl schreef:
Re: oneindig lange formules
Had het blijkbaar NIET goed gelezen. Excuses.SafeX schreef:Heb je dit dan wel goed gelezen?
SafeX schreef:Ok, definieer nu:
P1=1/2; P2=1/2*2/3; P3=1/2*2/3*3/4 ... ; Pn=1/(n+1); ...
Bekijk:wnvl schreef:
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: oneindig lange formules
Uhm, als kan je ook convergentie hebben (kies bijvoorbeeld constant met limiet !wnvl schreef:Ik heb het hier over de laatste factor van een oneindig productSafeX schreef:Welke laatste factor ...wnvl schreef: Uit het feit dat de laatste factor nadert naar 1, kan je niet concluderen of het product convergeert of divergeert.
is een nodige maar geen voldoende voorwaarde voor convergentie.
ja, misschien moeten we een tutorial over convergentiecriteria van oneindige producten startenSafeX schreef: Opm: Overigens hoort dit niet bij Tutorials
(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als voor alle , dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat een dalende, naar onder begrensde rij is)
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Re: oneindig lange formules
Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als voor alle , dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat een dalende, naar onder begrensde rij is)
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: oneindig lange formules
Mijn excuses, hier was ik nog niet van op de hoogte. Ik neem aan dat je dan wel -oneindig bedoelt?wnvl schreef:Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als voor alle , dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat een dalende, naar onder begrensde rij is)
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Re: oneindig lange formules
Inderdaad.Sjoerd Job schreef:Mijn excuses, hier was ik nog niet van op de hoogte. Ik neem aan dat je dan wel -oneindig bedoelt?wnvl schreef:Daar bestaan veel misvattingen over, maar een oneindig product dat naar nul gaat wordt divergent genoemd niet alleen door mezelf, maar door de hele "wiskundegemeenschap" . Reden is dat het logaritme in dat geval naar oneindig gaat.(Sorry, ik lees net dat jij een limiet divergerend durft te noemen als de limiet convergeert naar 0)
(EDIT: Sterker nog, als voor alle , dan convergeert de limiet. Reden hiervoor is dat een dalende, naar onder begrensde rij is)
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_product
Re: oneindig lange formules
Je kunt op deze manier ook eenvoudig de som van een oneindige convergente meetkundige rij bepalen:
Voorbeeld:
en je ziet dat waaruit
Daar valt ook heel gemakkelijk het algemene formuletje () uit af te leiden zonder limieten en convergentie te gebruiken. (t1 is de eerste term en q het quotiënt)
Vreemd genoeg krijg je bij een som als deze ook een niet-oneindige oplossing:
Je vindt en dus het volstrekt logische
Daar moet zeker een goede verklaring voor zijn.
Ook leuk dat je met kan vermenigvuldigen:
Bij het eerste bvb: en daaruit volgt dezelfde oplossing voor s.
Voorbeeld:
en je ziet dat waaruit
Daar valt ook heel gemakkelijk het algemene formuletje () uit af te leiden zonder limieten en convergentie te gebruiken. (t1 is de eerste term en q het quotiënt)
Vreemd genoeg krijg je bij een som als deze ook een niet-oneindige oplossing:
Je vindt en dus het volstrekt logische
Daar moet zeker een goede verklaring voor zijn.
Ook leuk dat je met kan vermenigvuldigen:
Bij het eerste bvb: en daaruit volgt dezelfde oplossing voor s.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Rekenen met oneindig geeft problemen.barto schreef:Vreemd genoeg krijg je bij een som als deze ook een niet-oneindige oplossing:
Je vindt en dus het volstrekt logische
Daar moet zeker een goede verklaring voor zijn.
Deel links en rechts eens door s (= ongelijk nul) en laat vervolgens s naar oneindig gaan.
Wat krijg je dan?
-
- Vergevorderde
- Berichten: 1144
- Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
- Locatie: Krimpen aan den IJssel
Re: oneindig lange formules
Dit is zeker waar in de 2-adische metriek: waar maximaal is met (voorbeeld: , , , )barto schreef:Vreemd genoeg krijg je bij een som als deze ook een niet-oneindige oplossing:
Je vindt en dus het volstrekt logische
Daar moet zeker een goede verklaring voor zijn.
In deze metriek geldt:
, , en
(eigenlijk gaat 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... al naar (-1)...)
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''
Re: oneindig lange formules
Heb de verklaring gevonden:
we hebben s = 2s+2, geen probleem tot hier toe.
Er is echter niet gegeven dat s een reëel getal is dus is het niet toegestaan om dan links en rechts 2s van af te trekken, zodat je
s - 2s = (2s - 2 ) -2s
krijgt. (commutativiteit, associativiteit, ... gelden ook niet per sé)
Want we hebben in ons derde jaartje toch geleerd: "We mogen bij een gelijkheid links en rechts hetzelfde reëel getal optellen."
Nu zie ik dus het eerste voorbeeld dat die "reëel" er niet voor niets staat .
Op zich is ±oneindig wel een oplossing van
s = 2s+2
maar die kun je er zo niet uithalen.
we hebben s = 2s+2, geen probleem tot hier toe.
Er is echter niet gegeven dat s een reëel getal is dus is het niet toegestaan om dan links en rechts 2s van af te trekken, zodat je
s - 2s = (2s - 2 ) -2s
krijgt. (commutativiteit, associativiteit, ... gelden ook niet per sé)
Want we hebben in ons derde jaartje toch geleerd: "We mogen bij een gelijkheid links en rechts hetzelfde reëel getal optellen."
Nu zie ik dus het eerste voorbeeld dat die "reëel" er niet voor niets staat .
Op zich is ±oneindig wel een oplossing van
s = 2s+2
maar die kun je er zo niet uithalen.
Given that, by scientifical reasons, the state of an object is completely determined by the physical influence of its environment, the probability to roll six with a dice is either one or zero.
Re: oneindig lange formules
Ik weet dat dit nu niet te maken heeft, maar ik vraag het toch omdat ik het graag wil weten. Het gaat over
Alvast bedankt, Dylan M.
Waarover er in het begin geroddeld werd.Maar is het niet zo dat moet zijn. Aangezien ... of vergis ik me ?David schreef:Ik vind het niet verkeerd om x^2 = x + 1 te gebruiken. Je hebt een techniek geleerd om die vergelijking op te lossen, en die gebruik je om x te vinden zodat .
Maar dan moet je stellen x >= 0 voor het kwadrateren. Als je je oplossingen controleert zit je helemaal goed. Voor wordt doorgaans (altijd) de positieve wortel genomen.
Alvast bedankt, Dylan M.
Re: oneindig lange formules
We hebben daarover gepraat.
Maar goede vraag.
Als je stelt: x>=-1, laat je dus negatieve oplossingen toe voor x. Maar uit een vierkantswortel komen alleen niet-negatieve getallen, dus voor negatieve x zijn er geen oplossingen. (Let op dat ik zeg: "niet-negatieve" i.p.v. bijv. positieve, om x = 0 in overweging te nemen).
Maar goede vraag.
Als je stelt: x>=-1, laat je dus negatieve oplossingen toe voor x. Maar uit een vierkantswortel komen alleen niet-negatieve getallen, dus voor negatieve x zijn er geen oplossingen. (Let op dat ik zeg: "niet-negatieve" i.p.v. bijv. positieve, om x = 0 in overweging te nemen).
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)
(Raffiek Torreman)