dobbelsteen

[David]

Toch nog een vraag hierover:
Als een bij een dobbelsteen de kans op een cijfer niet altijd even groot is, dus niet vlakken 1, 2, 3, 4, 5, 6,
maar bijvoorbeeld 1, 1, 1, 2, 2, 3. geldt dan ook de methode om de kans op bijv. 5 uit te rekenen. Op papier kom ik met een andere methode uit op . Met de andere methode zou dat =
worden. De kans op 5 met deze dobbelsteen is . Komt deze methode altijd goed uit, of is dit toeval?

[arie]

Dit is correct en GEEN toeval: de machten stellen het aantal ogen voor, de coefficienten het aantal manieren om het betreffende aantal ogen te gooien, en het maakt niet uit hoe groot deze getallen zijn.

Gooien met 2 dobbelstenen komt bijvoorbeeld precies overeen met vermenigvuldigen van de machtreeksen: in het product worden gelijke machten bij elkaar genomen, de nieuwe coefficienten zijn dan weer de som van alle mogelijkheden om die betreffende uitkomst te krijgen.

We hadden al eerder als voorbeeld



Zou je met 3 dobbelstenen werken, kan krijg je:




Hierbij is de eerste factor te beschouwen als een worp met een 36-zijdige dobbelsteen, met
- 1 vlak met 2 ogen,
- 2 vlakken met elk 3 ogen,
- 3 vlakken met elk 4 ogen,
....
- 1 vlak met 12 ogen.
terwijl je tegelijkertijd ook een normale dobbelsteen werpt (= 2e factor).

[David]

Ok, stelt een dobbelsteen met zijden voor omdat de som van de coëfficiënten is? In dus om te kijken hoeveel zijden de dobbelsteen voorstelt moet je de som van de coëfficiënten optellen?

[arie]

Meer precies: (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n KAN een dobbelsteen met 6^n zijden voorstellen.

ax+bx^2+cx^3+dx^4+ex^5+fx^6 KAN een dobbelsteen voorstellen met
- a vlakken met 1 oog
- b vlakken met 2 ogen
....
- f vlakken met 6 ogen
In totaal zou dit dan een (a+b+c+d+e+f)-vlaks dobbelsteen zijn.

Met formele machtreeksen kan je een reeks getallen (die bijvoorbeeld een aantal mogelijkheden betekenen) voorstellen. De exponent n van x dient dan om het betreffende getal (de coefficient voor x^n) terug te vinden en niet meer dan dat.
Bij jouw probleem stel je n gelijk aan het aantal ogen, de coefficient voor x^n is dan het aantal malen dat dit aantal ogen op een vlak van de dobbelsteen voorkomt, dit is dus "het aantal vlakken met n ogen op de dobbelsteen".

Je vertaalt dus je probleem naar een machtreeks, die machtreeks kan je wiskundig manipuleren, vervolgens leid je uit het resultaat daarvan de uitkomst voor je probleem af.

Je kan dit vergelijken met het volgende basale probleem:
Je hebt 5 appels, geeft er 2 weg, hoeveel hou je over?
Vertaal die appels naar A, dan heb je 5A en trekt daar 2A van af, wat je wiskundig op allerlei manieren kan doen, bijvoorbeeld:
5A-2A = 5A-(A+A)=5A-A-A=(5A-A)-A=4A-A=3A
of
5A-2A = (5-2)A = 3A
Vertaal nu de A weer naar appels, en je houdt dus 3 appels over.

[David]

Dus (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^n is een gewone machtreeks, met als extra eigenschap dat het een dobbelsteen met 6^n zijden KAN voorstellen als je het gebruikt om bijv. de kans op een aantal ogen te gooien. de formule is dan zo gemanipuleerd dat je goed uitkomt. En dat manipuleren kan op verschillende manieren, zoals je mooi met appels laat zien. MAAR hoe je ook manipuleert, als je het goed doet, kom je altijd op hetzelfde antwoord uit.