Combinaties dobbelstenen

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
Wiskunde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 24
Lid geworden op: 16 apr 2008, 19:23

Combinaties dobbelstenen

Bericht door Wiskunde » 11 apr 2009, 15:27

Hoeveel combinaties zijn er mogelijk met 5 dobbelstenen?

Ik heb van alles geprobeerd maar kom er niet uit.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door arno » 11 apr 2009, 17:23

Ik neem aan dat je wel weet hoeveel mogelijkheden er zijn als je met 1 dobbelsteen gooit. Stel dat je met 2 dobbelstenen gooit, hoe zou je dan het aantal mogelijkheden proberen te vinden? Neem bijvoorbeeld aan dat je met de ene dobbelsteen een 1 gooit, dan weet je dat er daarbij 6 mogelijkheden zijn om met de tweede dobbelsteen te gooien. Als je met de ene dobbelsteen een 2, 3, 4, 5 of 6 gooit heb je voor de andere dobbelsteen ook weer 6 mogelijkheden, dus dat betekent dat je dan ook weet wat het totaal aantal mogelijkheden is om met 2 dobbelstenen te gooien. Kijk maar eens of je zo kunt afleiden wat het aantal mogelijkheden is om met 3,4... dobbelstenen te gooien.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Wiskunde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 24
Lid geworden op: 16 apr 2008, 19:23

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door Wiskunde » 13 apr 2009, 16:06

Nee, want het zijn combinaties, niet mogelijkheden.

2,1 is hetzelfde als 1,2

1 dobbelsteen: 6
2 dobbelstenen: 21
3 dobbelstenen: 56

verder lukte het niet meer...

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door arno » 13 apr 2009, 19:39

Wiskunde schreef:Nee, want het zijn combinaties, niet mogelijkheden.

2,1 is hetzelfde als 1,2

1 dobbelsteen: 6
2 dobbelstenen: 21
3 dobbelstenen: 56

verder lukte het niet meer...
Als je bedoelt dat het totaal aantal ogen hetzelfde is als je eerst een 1 en dan een 2 gooit heb je gelijk, maar als je kijkt naar de volgorde waarin je gooit zijn 2,1 en 1,2 verschillende uitkomsten. Algemeen geldt dat je in totaal mogelijke uitkomsten hebt met het gooien van n dobbelstenen, dus bij 5 dobbelstenen komt dat neer op mogelijke uitkomsten.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door arie » 14 apr 2009, 10:25

Ik denk dat hier wat spraakverwarring is ontstaan rond de begrippen "uitkomst",
"combinaties" en "mogelijkheden".

Daarom voor alle duidelijkheid:
Je wilt voor dit probleem het aantal verschillende eind-uitkomsten weten voor een worp met
k dobbelstenen met elk n = 6 zijden = 6 mogelijke individuele uitkomsten per dobbelsteen, waarbij
de volgorde NIET van belang is.
De eind-uitkomsten kan je dus opvatten als verzamelingen, waarbij bijvoorbeeld voor een worp
met 2 dobbelstenen geldt: {1,2} = {2,1} en {3,6} = {6,3}.

Met andere woorden:
- herhaling is WEL toegestaan
- de volgorde is NIET van belang

Het aantal mogelijkheden kan je dan berekenen via zogenaamde k-herhalingscombinaties uit
n elementen, zie bijv. http://nl.wikipedia.org/wiki/Combinatoriek.

In het kort is de gedachte hierachter dat je de eind-uitkomsten als volgt noteert:
- maak een tabel met als kolommen de mogelijke individuele uitkomsten,
- markeer de scheiding tussen de kolommen met een verticaal streepje: |
- geef met een x per dobbelsteen de uitkomst van de dobbelsteen weer in de juiste kolom,
- en doe dit voor alle mogelijke uitkomsten, elke rij = 1 uitkomst

Voor 2 dobbelstenen levert dit:

Code: Selecteer alles

6ogen 5ogen 4ogen 3ogen 2ogen 1oog
 xx   |     |     |     |     |         = {6,6}
 x    | x   |     |     |     |         = {6,5}
 x    |     | x   |     |     |         = {6,4}
 x    |     |     | x   |     |         = {6,3}
 x    |     |     |     | x   |         = {6,2}
 x    |     |     |     |     | x       = {6,1}
     | xx  |     |     |     |         = {5,5}
     | x   | x   |     |     |         = {5,4}
     | x   |     | x   |     |         = {5,3}
     | x   |     |     | x   |         = {5,2}
     | x   |     |     |     | x       = {5,1}
     |     | xx  |     |     |         = {4,4}
     |     | x   | x   |     |         = {4,3}
     |     | x   |     | x   |         = {4,2}
     |     | x   |     |     | x       = {4,1}
     |     |     | xx  |     |         = {3,3}
     |     |     | x   | x   |         = {3,2}
     |     |     | x   |     | x       = {3,1}
     |     |     |     | xx  |         = {2,2}
     |     |     |     | x   | x       = {2,1}
     |     |     |     |     | xx      = {1,1}
Elke rij met 2 x-en en 5 streepjes correspondeert nu precies en uniek met 1 oplossing,
bijvoorbeeld:
"|xx||||" = {5,5}
"|||x||x" = {3,1}
(laat alle spaties dus weg)

Het aantal mogelijke rijtjes is precies het aantal mogelijke combinaties van 2 kruisjes
uit 7 plaatsen = 7C2 = 21.

Notatie:



In het algemeen geldt met n individuele uitkomsten en k herhalingen:
We hebben (n-1) streepjes '|' en k x-en. We zoeken dus het aantal mogelijke keuzes van k x-en uit
[(n-1) + k] beschikbare plaatsen, ofwel:
Het aantal k-herhalingscombinaties =
het aantal mogelijke combinaties van k x-en uit [(n-1) + k] plaatsen =




Dus voor k dobbelstenen met elk n=6 mogelijke uitkomsten geldt:

Het aantal k-herhalingscombinaties =




En je vindt voor het aantal einduitkomsten:









etc.

Wiskunde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 24
Lid geworden op: 16 apr 2008, 19:23

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door Wiskunde » 14 apr 2009, 17:00

Bedankt! Alleen hoe ben je op het idee gekomen om door middel van zo'n schema met kruisjes en streepjes te werken?

-
Of weet je dat uit ervaring? :)

-
Nog een klein vraagje:
Kans dat de som van 2 dobbelstenen groter moet zijn dan 10.

manier 1:
Mogelijkheden: {5,6}, {6,5}, {6,6}
Totaal aantal mogelijkheden: 6*6
3/6^2 = 1/12

manier 2:
Combinaties: {5,6}, {6,6}
Totaal aantal combinaties: 21
2/21

Maar dit is niet gelijk aan elkaar, wat is er verkeerd aan?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door arie » 14 apr 2009, 19:52

(1)
Dit is een standaard methode voor herhalingscombinaties.
In de wikipedia-link die ik hierboven toegevoegd heb doen ze hetzelfde
met 0-en en 1-en: hun 0 = mijn x, hun 1 = mijn |.
De toelichting op die wikipedia-pagina is echter zeer beknopt, voor de duidelijkheid
heb ik hierboven een wat uitgebreidere tekst geschreven.

(2)
Tel het aantal gebeurtenissen EN de kans dat die gebeurtenissen optreden.
Het eenvoudigste gaat dit op de manier van Arno hierboven:
met 2 dobbelstenen zijn er 6x6 = 36 uitkomsten die allen een even
grote kans hebben om op te treden: namelijk: 1/36.
Het aantal gewenste uitkomsten = 3: (5,6), (6,5) en (6,6).
De kans dat de som groter is dan 10 is dus 3 x 1/36 = 1/12.
Dit is jouw manier 1.

Als we naar de 21 combinaties kijken, hebben de combinaties
- met gelijke cijfers een kans van 1/36 om op te treden {6,6}=(6,6), {5,5} = (5,5), etc
- combinaties met verschillende cijfers een kans van 1/36 + 1/36 = 1/18 om op te
treden: {6,5} = (6,5) of (5,6)
[Ter controle: 6 x (kans dubbel cijfer) + 15 x (kans verschillend cijfer) =
6 x 1/36 + 15 x 1/18 = 1/6 + 15/18 = 1]

De kans op een combinatie {5,6} OF combinatie {6,6} =
de kans op combinatie {5,6} + de kans op combinatie {6,6} =
1/18 + 1/36 = 1/12.
De kans via jouw manier 2 is dus (uiteraard) hetzelfde als via manier 1.

De oorzaak van het schijnbare verschil is het feit dat de paren van Arno allemaal een even grote kans hebben om op te treden, terwijl jouw combinaties verschillende kansen hebben om op te treden.
Als je hier rekening mee houdt gaat het goed.


PS: in extreme vorm kan je redeneren:

manier 3:
mogelijkheden: (a) som <= 10; (b) som > 10
aantal mogelijkheden: 2
kans = 1/2 dat de som groter is dan 10.

Ook hier moet je weer kijken hoe groot de kans is dat de gebeurtenissen
optreden, en niet alleen het aantal gebeurtenissen tellen. ;-)

Wiskunde
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 24
Lid geworden op: 16 apr 2008, 19:23

Re: Combinaties dobbelstenen

Bericht door Wiskunde » 14 apr 2009, 20:53

Oke, heel erg bedankt!!!

Plaats reactie