Differentiëren

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 20:02

Dus de afgeleide van -1/(e^x+1) is e? Waarom denk je dat? Is dat een gok? Laat je berekening anders eens zien .

Hoever sta je met afgeleiden? Heb je alle rekenregels al gezien? Of ...

De afgeleide van $e^x+1$ is toch $e$ ?

Tot nu toe hebben we behandeld de somregel, productregel, quotiëntregel, e-regel en kettingregel. Alleen de kettingregel heb ik tot nu toe in deze vorm behandeld:

$f(x)=(6x^6-9x)^-^2$

dan doe ik

$u=6x^6-9x$ en $u'=36x^5-9$

$v=u^-^2$ en $v'=-2u^-^3$

Vervolgens
$f'(x)=(36x-9)(-2u^-^3)$ ^

$f'(x)=(36x^5-9)(-2(36x^5-9)^-^3)$

$f'(x)=(36x^5-9)(-2*\frac{1}{(36x^5-9)^3})$

$f'(x)=(36x^5-9)(\frac{-2}{(36x^5-9)^3})$

$f'(x)=\frac{-72x^5-18}{(36x^5-9)^3}$

Dit soort formules lukt me wel, maar deze opgave bevat de voor mij onbegrijpelijke $e$

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 20:05

David schreef:
Ik schreef:We hebben:
$f(x)=1-\frac{1}{e^x+1}$
$[-\frac{1}{e^x+1}]'=[-\frac{1}{u}]'$ (met de substitutie)
Moet zijn:
$[-\frac{1}{e^x+1}]'=[-\frac{1}{u}]'$

Wat is de afgeleide van $-u^{-1}$ ? Kan je die vinden?

Die is dan?

$-u^-^2$

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 20:08

Bijna,

$f(u)=u^{-1}$
$f'(u)=-1 \cdot u^{-1-1}=-u^{-2}$

Maar we hebben:
$f(u)=-u^{-1}=-1 \cdot u^{-1}$

Snap je dat 1/u=u^-1?

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 20:13

Euclid schreef:Alleen de kettingregel heb ik tot nu toe in deze vorm behandeld:

$f(x)=(6x^6-9x)^2$

dan doe ik

$u=6x^6-9x$ en $u'=36x^5-9$

$v=u^-^2$ en $v'=-2u^-^3$

Vervolgens
$f'(x)=(36x-9)(-2u^-^3)$ ^

$f'(x)=(36x^5-9)(-2(36x^5-9)^-^3)$

$f'(x)=(36x^5-9)(-2*\frac{1}{(36x^5-9)^3})$

$f'(x)=(36x^5-9)(\frac{-2}{(36x^5-9)^3})$

$f'(x)=\frac{-72x^5-18}{(36x^5-9)^3}$

Dit soort formules lukt me wel, maar deze opgave bevat de voor mij onbegrijpelijke $e$

Dit klopt niet helemaal. Heb je dat zo geleerd?
$f(x)=(6x^6-9x)^2$
$u=(6x^6-9x)$
$f(u)=u^2$
$f'(u)=2u \cdot u'=...$
Kan je ze oplossen?

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 20:26

Dit klopt niet helemaal. Heb je dat zo geleerd?
$f(x)=(6x^6-9x)^2$
$u=(6x^6-9x)$
$f(u)=u^2$
$f'(u)=2u \cdot u'=...$
Kan je ze oplossen?

Heb ik zo geleerd ja...

En wat betreft je andere vraag:

f'(u) = (12x^6 - 18x) (36x^12 - 108x^7 + 81x^2)

Maar dat zal niet kloppen, want als ik dat verder uitwerk ga ik wel hele grote cijfers gebruiken...

edit: zie trouwens dat ik bij het invoeren van $f(x)=(6x^6-9x)^2$ de fout heb gemaakt geen - teken voor de macht 2 te zetten... moest dus zijn

$f(x)=(6x^6-9x)^-^2$

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 20:31

Het klopt inderdaad niet helemaal. Kan je de uitwerking laten zien? Dan kan je gerichtere feedback krijgen.

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 20:38

David schreef:Dit klopt niet helemaal. Heb je dat zo geleerd?
$f(x)=(6x^6-9x)^2$
$u=(6x^6-9x)$
$f(u)=u^2$
$f'(u)=2u \cdot u'=...$
Kan je ze oplossen?

Ik doe:

$f(u)=u^2$
$u=(6x^6-9x)$
$u=(6x^6-9x) \cdot (6x^6-9x)=(36x^1^2-54x^7-54x^7+81x^2)$
$f'(u)=2u \cdot u'=(2(6x^6-9x))36x^1^2-108x^7+81x^2$

enz. maar het klopte al niet...

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 20:39

Euclid schreef: edit: zie trouwens dat ik bij het invoeren van $f(x)=(6x^6-9x)^2$ de fout heb gemaakt geen - teken voor de macht 2 te zetten... moest dus zijn

$f(x)=(6x^6-9x)^-^2$

Dat veranderd een hoop. De afgeleide met uitwerking die je eerder gaf klopt.

PS: je gebruikt voor de LateX-code:

Code: Selecteer alles

[tex]f(x)=(6x^6-9x)^-^2[/tex]

.

Code: Selecteer alles

[tex]f(x)=(6x^6-9x)^{-2}[/tex]

Geeft hetzelfde resultaat. Kijk maar of het je helpt.

Kan nu iets meer met je oorspronkelijke vraag of loop je ergens vast?
Wat je nu doet klopt niet, wil je dat ook nog behandelen of door met je opgave?

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 20:42

Bedankt voor je tip en hulp

Ik ga liever door met de oorspronkelijke opgave. Er zit nu al aardig wat tijd in...

Wat is de afgeleide van $-u^{-1}$ ? Kan je die vinden?

Moet trouwens dit zijn niet?

$u^{-2}$

Bericht door **Kinu** » 20 apr 2011, 20:49

Euclid schreef:Bedankt voor je tip en hulp

Ik ga liever door met de oorspronkelijke opgave. Er zit nu al aardig wat tijd in...

Ben je daar nu al uit? Ik geef je een voorbeeld (als analogie) met de quotientregel:
$D(\frac{4x}{2+x}) = \frac{D(4x).(2+x)-(4x).D(2+x)}{(2+x)^2}=\frac{4(2+x)-4x}{(2+x)^2} = \frac{8}{(2+x)^2}$

Probeer dat op jou opgave toe te passen of splits de breuken zoals David voordeed.

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 20:50

Ok, we hebben:

$f(x)=1-(e^x+1)^{-1}$
Snap je de herschrijving?

$u=e^x+1$ ; $u'=?$

$v=1-u^{-1}$ ; $v'=?$

Kan je wat onbekend is bepalen?

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 21:06

Kinu schreef:
Euclid schreef:Bedankt voor je tip en hulp

Ik ga liever door met de oorspronkelijke opgave. Er zit nu al aardig wat tijd in...
Ben je daar nu al uit? Ik geef je een voorbeeld (als analogie) met de quotientregel:
$D(\frac{4x}{2+x}) = \frac{D(4x).(2+x)-(4x).D(2+x)}{(2+x)^2}=\frac{4(2+x)-4x}{(2+x)^2} = \frac{8}{(2+x)^2}$

Probeer dat op jou opgave toe te passen of splits de breuken zoals David voordeed.

Dat geeft bij mij:

$\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{(e^x)\cdot(1+e^x)-(e^x)\cdot(1+e^x)}{(1+e^x)^2}=\frac{(e^x)\cdot(e)-(e)\cdot(e^x)}{(1+e^x)^2}$

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 21:10

David schreef:Ok, we hebben:

$f(x)=1-\frac{1-(e^x+1)^-1$
Snap je de herschrijving?

$u=e^x+1$ ; $u'=?$

$v=1-u^-1$ ; $v'=?$

Kan je wat onbekend is bepalen?

$u=e^x+1$ ; $u'=e$

$v=1-u^-1$ ; $v'=u^{-2}$

Bericht door **David** » 20 apr 2011, 21:18

u'=e^x in plaats van e.
u'' ook, net als u'''. Hoe vaak je de functie e^x ook (als functie van x) differentieert, er komt telkens e^x uit.
De functie is niet te verwarren met een lineare functie.
v' klopt.
Kan je nu, net als je eerder deed, de kettingregel gebruiken?

Euclid · Bericht door **Euclid** » 20 apr 2011, 21:23

David schreef:u'=e^x in plaats van e.
u'' ook, net als u'''. Hoe vaak je de functie e^x ook (als functie van x) differentieert, er komt telkens e^x uit.
De functie is niet te verwarren met een lineare functie.
v' klopt.
Kan je nu, net als je eerder deed, de kettingregel gebruiken?

$f'(x)=u'\cdot v'$

$f'(x)=e^x \cdot (e^x+1)^{-2}$

Dit moet schijnbaar het antwoord zijn:

$\frac{(1+e^x)e^x-e^x\cdot e^x}{(1+e^x)^2}=\frac{e^x}{(1+e^x)^2}$

Terwijl ik eerder dit schreef:

$\frac{e^x}{1+e^x}=\frac{(e^x)\cdot(1+e^x)-(e^x)\cdot(1+e^x)}{(1+e^x)^2}=\frac{(e^x)\cdot(e)-(e)\cdot(e^x)}{(1+e^x)^2}$

Wiskundeforum

Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re: Differentiëren

Re:

Re: