voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
jokke_moose
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 13 okt 2018, 21:50

voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door jokke_moose » 15 nov 2018, 21:00

Hallo,

Ik ben op zoek naar een paar uitgewerkte voorbeelden ivm goniometrische ongelijkheden.
Een beetje in deze stijl:

\(sin(x)+cos(x)>\frac{sqrt(3)}{2}\)

\(cos(x)+sin\frac{x}{2}<= 0\)

\(sec(x)-cos2x> 0\)

\(3sin^2x-2sinx + 1 <=0\)

\(tanx + cotx <=1\)

...

Het hoeven echt niet uitwerkingen van bovenstaande oefeningen te zijn. Ik zou gewoon graag een aantal uitgewerkte voorbeelden willen bestuderen van dergelijke oefeningen. Ik vind deze heel lastig.

Alvast bedankt!

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door SafeX » 16 nov 2018, 11:41

jokke_moose schreef:
15 nov 2018, 21:00
\(\sin(x)+\cos(x)>\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Laten we hier eens naar kijken.
Hoe zou jij willen beginnen?
Hint: zou je van het linkerlid een product kunnen maken?

Kan je van het linkerlid een grafiek maken?

jokke_moose
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 13 okt 2018, 21:50

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door jokke_moose » 16 nov 2018, 22:34

ja inderdaad.. deze zie ik wel hoor, ik wil alleen zo veel mogelijk oefeningen oplossen en zien.
't gaat niet echt over deze oefeningen specifiek

jokke_moose
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 13 okt 2018, 21:50

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door jokke_moose » 17 nov 2018, 13:29

in het boek VBTL 5 leerweg 6/8 staan een aantal oefeningen in die men grafisch moet oplossen. Echter ik zou graag weten of je deze toch analytisch kan oplossen. Iemand een idee of tips hoe je deze wel analytisch kan oplossen?

1. \(\sqrt{3-4\cos^2x}>1+3\sin(x) \)

=> Wat ik ook probeer, ik kan met de bestaande goniometrische formules echt niet tot een eenvoudigere ongelijkheid komen en blijf met die wortel zitten. Dus volgens mij is dit alleen mogelijk om grafisch op te lossen. dan is het vrij makkelijk. Gewoon ingeven en aflezen wanneer het eerste stuk groter is dan het 2de lid

2. \(4sin(2(x-pi/3)) + 1 > 2 \)

=> Ik zou hier het volgende kunnen doen:

\(2(x-pi/3) > boogsin(1/4) \)
en dan verder uitwerken naar X. En dan kom ik er waarschijnlijk wel. Of is er nog een gemakkelijkere manier?

3. \(\frac{\cos(x)-\cos(2x)}{1-4\sin²(x)}>=0 \)

=> Zelfde als oefening 1 eigenlijk. Wat ik ook probeer, de opgave blijft complex. Iemand een tip?

Grts

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door SafeX » 17 nov 2018, 16:00

jokke_moose schreef:
17 nov 2018, 13:29
1. \(\sqrt{3-4\cos^2x}>1+3\sin(x) \)

2. \(4\sin(2(x-\frac{\pi} 3)) + 1 > 2 \)

=> Ik zou hier het volgende kunnen doen:

\(2(x-\pi/3) > \boogsin(\frac 1 4) \)
en dan verder uitwerken naar X. En dan kom ik er waarschijnlijk wel. Of is er nog een gemakkelijkere manier?

3. \(\frac{\cos(x)-\cos(2x)}{1-4\sin²(x)}>=0 \)

=> Zelfde als oefening 1.
Je kan/moet misschien wel de gelijkheid exact oplossen. Daarna gebruik maken van je grafiek.
Je kan in opg 3 de teller ontbinden in factoren na cos(2X) te herschrijven met de vorm cos^2(x)

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door SafeX » 17 nov 2018, 16:02

Opg 2. op de gewone manier, dwz eerst de gelijkheid exact dan de grafiek gebruiken.

jokke_moose
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 13 okt 2018, 21:50

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door jokke_moose » 17 nov 2018, 17:57

ja maar als je dat doet zoals je zegt voor opgave 3, dan kan je met substitutie de teller en de noemer doen, maar het probleem is dat je dan zowel voor sinus een substitutie doet als voor cosinus. Even verder over nagedacht: noemer kan je dan met de grondformule ook in cos²x uitdrukken, en dan lukt het wel. Oef :-)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door arno » 17 nov 2018, 19:07

jokke_moose schreef:
17 nov 2018, 13:29
1. \(\sqrt{3-4\cos^2x}>1+3\sin(x) \)

=> Wat ik ook probeer, ik kan met de bestaande goniometrische formules echt niet tot een eenvoudigere ongelijkheid komen en blijf met die wortel zitten. Dus volgens mij is dit alleen mogelijk om grafisch op te lossen. dan is het vrij makkelijk. Gewoon ingeven en aflezen wanneer het eerste stuk groter is dan het 2de lid
Bedenk dat uit a>b volgt dat a²>b², dus uit \(\sqrt{3-4\cos^2x}>1+3\sin x\) volgt dat ... Wat is dan de volgende stap?
jokke_moose schreef:
17 nov 2018, 13:29
2. \(4sin(2(x-pi/3)) + 1 > 2 \)

=> Ik zou hier het volgende kunnen doen:

\(2(x-pi/3) > boogsin(1/4) \)
en dan verder uitwerken naar X. En dan kom ik er waarschijnlijk wel. Of is er nog een gemakkelijkere manier?
Los eerst de vergelijking sin 2(x-⅓·π) = ¼ op en bepaal aan de hand daarvan de oplossing voor de bijbehorende ongelijkheid.
jokke_moose schreef:
17 nov 2018, 13:29
3. \(\frac{\cos(x)-\cos(2x)}{1-4\sin²(x)}>=0 \)

=> Zelfde als oefening 1 eigenlijk. Wat ik ook probeer, de opgave blijft complex. Iemand een tip?

Grts
Maak hier gebruik van een tekenoverzicht en los aan de hand daarvan de gegeven ongelijkheid op.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: voorbeeld oefeningen goniometrische ongelijkheden

Bericht door SafeX » 18 nov 2018, 12:23

jokke_moose schreef:
17 nov 2018, 17:57
ja maar als je dat doet zoals je zegt voor opgave 3, dan kan je met substitutie de teller en de noemer doen, maar het probleem is dat je dan zowel voor sinus een substitutie doet als voor cosinus. Even verder over nagedacht: noemer kan je dan met de grondformule ook in cos²x uitdrukken, en dan lukt het wel. Oef :-)
Laat dat eens zien.

Plaats reactie