Vraagstuk

Dit forum is voor het voortgezetonderwijs (of 2de/3de graad ASO), als je in de bovenbouw zit. We gaan er vanuit dat je een Grafische Rekenmachine hebt.
Plaats reactie
Jules De Rop
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 22 feb 2019, 21:45

Vraagstuk

Bericht door Jules De Rop » 22 feb 2019, 21:54

Ik probeer oefeningen te maken om me voor te bereiden op de VWO waar ik volgend vraagstuk tegengekomen:

In mijn portefeuille zitten 11 bankbiljetten van 5 sjekel, 11 biljetten van 50
sjekel en 11 biljetten van 500 sjekel. Hoeveel verschillende bedragen kan ik
hiermee gepast betalen in een Israëlische supermarkt?

(A) 33 (B) 1000 (C) 1111 (D) 1221 (E) 1331

Ik heb eerst het hoogst mogelijk bedrag berekend wat uitkwam op 6105. Ervan uitgaande dat elk bedrag deelbaar door 5 mogelijk is om te maken heb ik 6105 door 5 gedeeld. Dus kwam ik op 1221 uit wat ook klopt volgens de verbetering. Toch vind ik het wat toevallig en ik zou graag willen weten of dit wel een juiste bewerking is?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Vraagstuk

Bericht door arie » 23 feb 2019, 06:49

Jules De Rop schreef: Ervan uitgaande dat elk bedrag deelbaar door 5 mogelijk is om te maken heb ik 6105 door 5 gedeeld.
Klopt (en goed gezien!): als elk biljet deelbaar is door 5, dan is ook de som van een willekeurig aantal biljetten deelbaar door 5.

Jules De Rop schreef: Toch vind ik het wat toevallig en ik zou graag willen weten of dit wel een juiste bewerking is?
In dit geval klopt het omdat ook alle vijfvouden (= bedragen) kleiner dan 6105 met deze biljetten te betalen zijn:
1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
... enz. ...
9 x 5 = 45

en dan komen we bij de veelvouden van 50 (dwz biljetten van 50):

1 x 50 + 0 x 5 = 50
1 x 50 + 1 x 5 = 55
1 x 50 + 2 x 5 = 60
...
1 x 50 + 9 x 5 = 95

2 x 50 + 0 x 5 = 100
2 x 50 + 1 x 5 = 105
2 x 50 + 2 x 5 = 110
...
2 x 50 + 9 x 5 = 145

...

9 x 50 + 0 x 5 = 450
9 x 50 + 1 x 5 = 455
9 x 50 + 2 x 5 = 460
...
9 x 50 + 9 x 5 = 495

en nu komen we bij de veelvouden van 500 (dwz biljetten van 500):

1 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 500
1 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 505
1 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 510
...
1 x 500 + 0 x 50 + 9 x 5 = 545

1 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 550
1 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 555
1 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 560
...
1 x 500 + 1 x 50 + 9 x 5 = 595

...

enz.
Als de biljetten van 500 alle 11 op zijn, dan gaan we door met die van 50 en 5 totdat die ook allemaal gebruikt zijn.
Dat levert tenslotte als laatste een totaal bedrag van 11 x 500 + 11 x 50 + 11 x 5 = 6105.


Andere situatie:
Stel we hebben 3 biljetten van 5, 1 biljet van 50 en 2 biljetten van 500.
Dan hebben we als mogelijke eindbedragen uitsluitend:

1 x 5 = 5
2 x 5 = 10
3 x 5 = 15

1 x 50 + 0 x 5 = 50
1 x 50 + 1 x 5 = 55
1 x 50 + 2 x 5 = 60
1 x 50 + 3 x 5 = 65

1 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 500
1 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 505
1 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 510
1 x 500 + 0 x 50 + 3 x 5 = 515

1 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 550
1 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 555
1 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 560
1 x 500 + 1 x 50 + 3 x 5 = 565

2 x 500 + 0 x 50 + 0 x 5 = 1000
2 x 500 + 0 x 50 + 1 x 5 = 1005
2 x 500 + 0 x 50 + 2 x 5 = 1010
2 x 500 + 0 x 50 + 3 x 5 = 1015

2 x 500 + 1 x 50 + 0 x 5 = 1050
2 x 500 + 1 x 50 + 1 x 5 = 1055
2 x 500 + 1 x 50 + 2 x 5 = 1060
2 x 500 + 1 x 50 + 3 x 5 = 1065

Het maximum bedrag is nu 1065, maar we kunnen slechts 23 bedragen (allemaal 5-vouden) gepast betalen.
Dit is dus duidelijk minder dan 1065 / 5 = 213.

In dit geval kan je wel redeneren:
- we hebben 4 mogelijkheden om de biljetten van 5 te gebruiken (0 t/m 3 stuks)
- we hebben 2 mogelijkheden om de biljetten van 50 te gebruiken (0 of 1)
- we hebben 3 mogelijkheden om de biljetten van 500 te gebruiken (0 t/m 2 stuks)
In totaal dus 4 x 2 x 3 = 24 bedragen.
Alleen zal in de supermarkt geen product van 0 sjekel (= 0 x 5 + 0 x 50 + 0 x 500) verkocht worden, dus trekken we daar 1 van af: 24 - 1 = 23

Merk op: dit gaat hier nu alleen op omdat elke keuze van biljetten tot een ander (= uniek) bedrag leidt.
Dit in tegenstelling tot je oorspronkelijke probleem: daar kunnen verschillende keuzes van biljetten tot hetzelfde eindbedrag leiden, bijvoorbeeld: 1 x 50 + 1 x 5 = 55, maar ook 0 x 50 + 11 x 5 = 55.
En daarom was daar het aantal verschillende eindbedragen slechts 1221 (dus minder dan 12 x 12 x 12 - 1 = 1727).

Plaats reactie