Wiskundeforum

Hallo,

Ik had een vraagje ivm met het vereenvoudigen van een wortel van een breuk.
Wanneer beide wortels, vierkantswortels waren dacht ik gewoon de wortel in de noemer te vermenigvuldigen met de teller en noemer, maar dat gaat hier waarschijnlijk niet op.

De oefening is, de 4de wortel van 12 / de wortel van 20.

Iemand een idee?
Alvast bedankt !

Het kan op jouw manier:

\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}=\frac{\sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{20}}=\frac{\sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}}{20}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{12}\cdot \sqrt{20}\)

Om de wortels te kunnen samentrekken moeten ze dezelfde macht hebben.
Kan je \(\sqrt{20}\) eerst herschrijven als 4-de machts wortel?
Dus

\(\sqrt{20} = \sqrt[4]{???}\)

En kan je daarmee het product nog vereenvoudigen?

Bedankt,

Oke top het eerste deel begrijp ik maar niet het omvormen van de vierkantswortel van 20 naar een vierdegraadswortel.
Is dat dan geen heel groot kommagetal?

Stel . Links en rechts alles tot de vierde macht verheffen levert dan: . Merk op dat algemeen geldt dat .

Oke dan heb ik,

1/20 * vierdemachtswortel van (12*400=4 800).
Wat is de beste manier om te kijken of je dit nu kan vereenvoudigen?

Je kan het getal ontbinden in (priem-)factoren.
Omdat we hier al een product hebben:
4800 = 12 * 20 * 20
is het eenvoudiger (=minder rekenwerk) om deze factoren eerst individueel te ontbinden:
\(12\cdot 20 \cdot 20 = (2^2 \cdot 3) \cdot (2^2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 3 \cdot 5^2\)

Zie je hierin een vierde macht die je buiten de vierdemachts wortel kan halen?

Ik weet het niet, we hebben toch enkel een 2de en 6de macht?

Bedenk:
\(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)

Voorbeeld:
\(27 = 3^3 = 3^{2+1} = 3^2 \cdot 3^1 = 9\cdot 3 \)


In ons geval zoeken we vierde machten die we af kunnen splitsen:
\(2^6 = 2^{4+2} = ...\)

2^6 * 3 * 5^2

Dan kunnen we 2^4 afsplitsen en dan krijgen we 2^2 * 3 * 5^2 = 10^4 * 3 , correct?
Staan beide dan nu buiten de 4demachtswortel?

Nee, we hebben hier alleen gekeken naar die 4800, en vastgesteld dat we er een factor \(2^4\) van kunnen afsplitsen.
Ofwel, terug naar ons probleem:

\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{4800}=\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} \)

en nu kunnen we wat onder die vierdemachts wortel staat splitsen in een deel met zuivere 4e machten (bij ons alleen \(2^4\)), en een deel waar geen vierde machten meer in zitten:

\(\frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} = \frac{1}{20}\cdot \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{2^2 \cdot 3 \cdot 5^2} \)

Het deel met vierde machten kunnen we nu vereenvoudigen, het deel zonder vierde machten niet meer (dit laatste kunnen we laten staan of terug omzetten naar een getal, hier \(2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300\)).

Kan je dit nu verder vereenvoudigen,?
Ofwel: wat komt hier op de 3 puntjes te staan?:

\( = \frac{1}{20}\cdot \; \dots \; \cdot \sqrt[4]{300} \)

En wat wordt vervolgens het eindantwoord?

Dus dan is het,

1/20 * 2 * 4demachtswortel van 300
= 1/10 * 4demachtswortel van 300 ?

Klopt.

(voor alle zekerheid kan je het ook nog controleren met je rekenmachine:
\(\frac{\sqrt[4]{12}}{\sqrt{20}}\approx 0.416179145...\)
en
\(\frac{1}{10}\sqrt[4]{300} \approx 0.416179145...\)
allebei hetzelfde, zoals verwacht)

Oke bedankt, en mocht de oefening nu zijn:

4*vierkantswortel (12) / vierkantswortel (20)

= 4* vierkantswortel (12*20=240) / 20
= 1/20 * 4 * vierkantswortel (240)

= maar dan zit ik opnieuw vast..

Merk om te beginnen op dat √12 = 2√3 en √20 = 2√5, dus , dus

Sorry ik volg even niet,

Dus de 4* vierkantswortel (12) = vierkantswortel (3)
en vierkantswortel (20) = vierkantswortel (5) ?