Gegeven:
\((m-2)x^2 -2mx + 2m-3 = 0\)
Elke waarde van m levert een vergelijking in x, bijvoorbeeld:
m=0:
\((0-2)x^2 -2\cdot 0\cdot x + 2\cdot 0-3 = 0\)
ofwel:
\(-2x^2 - 3 = 0\)
nu is:
a = -2
b = 0
c = -3
dus:
\(D = b^2 - 4ac = -24\)
\(S = -b/a = 0\)
\(P = c/a = 3/2 > 0\)
In plaats van deze berekening te herhalen voor alle gevraagde waarden van m, kan je
ook eerst a, b en c uitdrukken in m, zodat je daarna D, S en P direct uit m kan berekenen:
a = m-2
b = -2m
c = 2m-3
dus
\(D = b^2 - 4ac = (-2m)^2 - 4(m-2)(2m-3) = ... = -4m^2 + 28m - 24\)
Dit had je zelf ook al gevonden.
Om een uitspraak te doen over de oplossingen x1 en x2 van de oorspronkelijke vergelijking
\((m-2)x^2 -2mx + 2m-3 = 0\)
moeten we weten of de discriminant kleiner dan nul is, gelijk aan nul is, of groter dan nul is.
Daarom doen we een tekenonderzoek van D:
\(D = -4m^2 + 28m - 24\)
Het resultaat daarvan had je ook al gegeven, links onderaan in je berekening.
Daaruit kan je direct aflezen dat voor m=0 de discriminant D negatief is.
Er zijn in dit geval dus geen oplossingen voor x.
Voor de som S en het produkt P van de oplossingen kunnen we hetzelfde doen:
S = -b/a = (2m)/(m-2)
P = c/a = (2m-3)/(m-2)
Voor elke gegeven waarde van m kunnen we nu dus direct:
- het teken van D bepalen (uit het tekenonderzoek), en
- de waarden van S en P berekenen.
Als je het teken van D weet (-, nul of +) en de waarden van S en P weet, kan je via
de tabel in paragraaf 2.9 een uitspraak doen over de oplossingen x1 en x2.
Noot: omdat je ook van S en P alleen het teken (-, nul of +) nodig hebt, is het handig om voor elk van die twee ook een tekenonderzoek-tabel (als functie van m) te maken (net als je voor D gedaan hebt)
Voorbeeld:
Code: Selecteer alles
m | 0 2
----+--------------------------------
2m | - - - 0 + + + + + + + + + + +
m-2 | - - - - - - - - - 0 + + + + +
----+--------------------------------
S | + + + 0 - - - - - X + + + + +
Let wel op het bijzondere geval:
Als a gelijk aan nul is, dan hebben we geen tweedegraads vergelijking in x, maar een
eerstegraads vergelijking in x (en die heeft maximaal 1 oplossing).
Dit gebeurt als a=0 ofwel (m-2)=0 ofwel m=2.
Dit blijkt ook uit je tekenonderzoek van S en P: voor m=2 bestaan S en P niet, want dan worden de noemers nul.
Als je meer wilt weten, blijf dan gerust vragen stellen.
PS: het wordt nog overzichtelijker als je de resultaten van alle tekenonderzoeken onder elkaar zet:
Code: Selecteer alles
m | 0 1 3/2 2 6
----+-------------------------------------------------------
D | - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + 0 - - - - -
P | + + + + + + + + + + + 0 - - - X + + + + + + + + + +
S | + + + 0 - - - - - - - - - - - X + + + + + + + + + +