En hoewel ik de opgave goed heb afgerond, blijft dit benaderen door m'n hoofd spoken. Het is een stukje nieuwsgierigheid dat me niet loslaat en me alleen maar nuttiger (?) te besteden tijd kost, maar toch
.Een paar dingen die ik 'weet' (c.q. opgepikt), zonder al te streng te zijn op afrondingen etc:
\(\sqrt 2 = 1.414... \\
\phi = 1.618... \\
\sqrt 3 = 1.732... \\
e = 2.718... \)
Dus eens kijken hoe ver ik kan komen zonder te spieken op wolframalpha oid. gewoon een gedachtengang, alsof ik op een whiteboard aan het kliederen ben;
\( e < 4 < e^2 \implies\ln e < \ln 4 < \ln e^2, \), aangezien \( ln x\) monotoon stijgend over het hele domein. Dus : $$\ln e < 2 \ln 2^2 < \ln e^2 = $$
$$1 < 2 \ln 2 < 2 \ln e = $$
$$1 < 2 \ln 2 < 2$$
$$\frac{1}{2} < \ln 2 < 1$$
Wat algebra heeft me gebracht tot dit punt, is dat \(\ln 2\) ergens ligt in het interval: \((\frac{1}{2}, 1)\)
Nu wil ik eigenlijk de upperbound verder te verlagen en de lower bound verder te verhogen, maar eigenlijk door zo min mogelijk te brute-forcen, maar te spelen met rekenregels
\(
\frac{1}{2} <\ln 2 < 1 < \sqrt2 =\\
\ln 2 < \sqrt2 =\\
\frac{\ln 2}{2} < \frac{\sqrt 2}{2} =\\
\frac{\ln 2}{2}< 0.707
\)
Niet heel veel wijzer van geworden. Iets anders proberen, ik wil van die \(\ln\) af.
$$\ln 2 < \sqrt2 \implies e^{\ln 2} < e^{\sqrt2} \implies 2 < e^{\sqrt 2}$$
Dat wisten we al en \(2.718^{1.414}\) is ook niet echt makkelijk uit het hoofd...
\(\ln 2 < \sqrt2 \implies e^{\ln 2} < e^{\sqrt2} \implies2 < e^{\sqrt 2} \implies 4 < e^2 \implies 2 < e \implies 1 < \frac{e}{2}\implies \frac{1}{2} < \frac{e}{4} \)
\(\frac{e}{4} = 0.679\)
Echter \(\ln 2 > \frac{e}{4}\) en ik zocht eigenlijk een betere upper bound. En hoewel het redelijk dicht in de buurt ligt, vind ik het toch te rommelig, het zal vast makkelijker kunnen. Wat tips? Want nu ik deze brainfart van me af heb geschreven ga ik graag weer verder met het de echte cursus
