Eindwerk optica en wiskunde: matrices

[wardverduyn]

Beste

Voor ons eindwerk doen we alles rond optica en wiskunde. Hierbij kwamen we het gebruik van matrices in de optica tegen.
Erg complex zo blijkt, maar we zullen dit gewoon simpel houden met enkele voorbeelden.
In bijlage een simpel voorbeeld, iemand enig idee wat ze juist bedoelen met de "eigenschappen"?
Waarvoor staan xb=60 en G -> -2, wat leid je hier uit af?

Alvast bedankt!

PS: simpele uitleg of cursussen over dergelijk onderwerp zijn ook welkom!

Bijlage: https://drive.google.com/file/d/1r4wrag ... sp=sharing

[arie]

De eigenschappen zijn deze 2 eigenschappen van het beeld: "waar is het (=xb)" en "wat is de vergrotingsfactor (=G)"
Noem
v = afstand voorwerp (= object)
b = afstand beeld (= image)
f = brandpuntsafstand (= focal length)
Dan geldt voor de bolle lens:
\(\frac{1}{v}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\)

In jullie voorbeeld, met \(v = 30\) en \(f = 20\) hadden we ook kunnen berekenen:
\(\frac{1}{b}=\frac{1}{f} - \frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60}\)
dus beeldafstand b (=xb) = 60
En de vergrotingsfactor |G| = b/v = 60/30 = 2, en omdat het beeld ondersteboven staat is dus: G = -2

Nu dit zelfde met matrices, in algemene vorm (= niet met getallen maar met v, f en b):
\(\begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac{-1}{f} & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
vermenigvuldig de laatste 2 matrices:
\(= \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1\cdot 1 + 0\cdot 0 & 1\cdot v + 0\cdot 1\\ 1\cdot \frac{-1}{f}+ 1\cdot 0 & \frac{-1}{f} \cdot v+ 1\cdot 1 \end{bmatrix}\)
vereenvoudig:
\(= \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & v \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{v}{f}\end{bmatrix}\)
vermenigvuldig vervolgens deze 2 matrices:
\(= \begin{bmatrix} 1\cdot 1 + \frac{-1}{f}\cdot b & 1\cdot v + b \cdot \left(1-\frac{v}{f} \right) \\ 0 \cdot 1 + \frac{-1}{f}\cdot 1 & 0\cdot v + 1\cdot \left( 1-\frac{v}{f}\right) \end{bmatrix}\)
vereenvoudig:
\(= \begin{bmatrix} 1 - \frac{b}{f} & v + b -\frac{vb}{f} \\ \frac{-1}{f} & 1-\frac{v}{f} \end{bmatrix}\)

Dit is je transfermatrix T.

Als v en f gegeven zijn, dan kan je de beeldafstand b berekenen door \(T_{12} = 0\) te stellen.
In het voorbeeld is v=30, f=20, dus
\(v + b -\frac{vb}{f} = 30 + b - \frac{30}{20}b = 30 - b/2 = 0\)
ofwel
\(b=2\cdot 30 = 60\)
(en deze b = de xb in jullie bijlage)
Dus de beeldafstand = 60 cm.

Merk op: door \(T_{12} = 0\) te stellen, krijgen we
\(v + b -\frac{vb}{f} = 0\)
deel door vb:
\(\frac{v}{vb} + \frac{b}{vb} -\frac{vb}{fvb} = 0\)
vereenvoudig:
\(\frac{1}{b} + \frac{1}{v} -\frac{1}{f} = 0\)
en hier staat precies de formule voor de bolle lens.

\(T_{11}\) is de vergroting G van het beeld, rekening houdend met de richting:
\(G = 1 - \frac{b}{f} = 1 - \frac{60}{20} = 1 - 3 = -2 \)
Het beeld is dus 2 keer zo groot als het origineel, en tegengesteld gericht.

Het is nogal omslachtig om b en G van 1 lens op deze manier uit te rekenen.
Maar het voordeel is dat we hiermee voor een heel stel lenzen achter elkaar het uiteindelijk resulterend beeld van dat hele lenzensysteem (= de b en G waarden van het gehele systeem) kunnen uitrekenen door de corresponderende matrices van al die lenzen in dezelfde volgorde met elkaar te vermenigvuldigen.
De laatste bladzijde van jullie bijlage geeft hiervan een voorbeeld: ze zetten een lens en een spiegel achter elkaar.
Het is overigens wel handig als je een rekenmachine / computerprogramma hebt waarmee je met matrices kan rekenen.

Komen jullie hiermee verder?