Mss dat een van jullie slimme koppen mijn kan helpen.
Ik moet voor een wiskunde PO een opgaven maken waar ik echt niet uit kom zonder hulp!
Het zijn opgaven uit het boekje 'Chaos en Orde' en betreft tentafbeeldingen. Mss dat iemand hiermee ervaring heeft!
Het gaat om de volgende opgaven:
- Beschouw een dynamisch systeem dat bepaald wordt door de tentafbeelding met 1 < a ≤ 2. Laat zien dat er
periodieke oplossing met periode 2 bestaat.
- De tentafbeelding 2 met 1 < a ≤ 2 levert voor n voldoende groot chaos op in een deelgebied van 0 < x< 1. Laat zien dat dit gebied bepaald wordt door:
a - 1/2a^2 < Xn < a/2
- We hebben het grensgeval a = 1 in onze behandeling van de tentafbeelding overgeslagen. Laat zien dat in dit geval de dynamica regelmatig is, maar nogal speciaal. Zo zijn er oneindig veel evenwichtsoplossingen.
Je zou me echt enorm helpen!
Alvast bedankt!
Chaos en orde (tentafbeeldingen)
Re: Chaos en orde (tentafbeeldingen)
Ik heb dit boek niet, maar neem aan dat het over de volgende tentfunctie f gaat:
x_n <= 0.5:
Periode 2 betekent dat
Stel
dan is
Als nu ook
dan is
en dan moet ook gelden (periode 2):
ofwel x_n=0 of a=1 of a=(-1), en dit mag allemaal niet.
Dus neem
dan is
 = a*(1-a*x_n) = a - a^2*x_n)
en moet in dit geval weer gelden (periode = 2):
ofwel
omdat 1 < a < 2 geldt:
0.4 < x_n < 0.5
en dit zijn geldige waarden voor x_n (afhankelijk van a)
(2)
De chaos zit in de top van de tent (waarschijnlijk zie je dit in de 2e tentfiguur in je boek).
De grootste waarde die tentfunctie f(x) kan bereiken is als x_n=0.5: de functiewaarde is dan de top van de tent = a*x_n = (1/2)*a. De volgende waarde is dan x_(n+1) = (1/2)*a. Omdat 1<a<2 is (1/2) < x_(n+1) < 1.
Deze waarde wordt afgebeeld op a*(1-(1/2)*a). Omdat 1<a<2 is 0 < a*(1-(1/2)*a) < (1/2).
En deze wordt vervolgens altijd vermenigvuld met a>1, dus a*(1-(1/2)*a) is de kleinste waarde die via chaos bereikt kan worden.
Dan de overige waarden van x_n:
Zolang x_n < a*(1-(1/2)*a) zal x_n groeien steeds met een factor a totdat het chaosgebied bereikt wordt.
Als x_n > (1/2)*a is x_n zeker groter dan (1/2), en zal worden afgebeeld op een getal < a*(1-(1/2)*a), en komt daarmee in het groeigebied terecht.
Dus de chaos bevindt zich in het gebied a*(1-(1/2)*a) < x_n < (1/2)a.
(3)
als a=1 geldt als x_n <= 0.5: x_(n+1) = 1 * x_n = x_n: stabiliteit: x verandert niet
als a=1 en x_n > 0.5: x_(n+1) = 1 - x_n. Hiermee is x_(n+1) < 0.5 en blijft verder stabiel.
Kom je zo verder?
x_n <= 0.5:
Periode 2 betekent dat
Stel
dan is
Als nu ook
dan is
en dan moet ook gelden (periode 2):
ofwel x_n=0 of a=1 of a=(-1), en dit mag allemaal niet.
Dus neem
dan is
en moet in dit geval weer gelden (periode = 2):
ofwel
omdat 1 < a < 2 geldt:
0.4 < x_n < 0.5
en dit zijn geldige waarden voor x_n (afhankelijk van a)
(2)
De chaos zit in de top van de tent (waarschijnlijk zie je dit in de 2e tentfiguur in je boek).
De grootste waarde die tentfunctie f(x) kan bereiken is als x_n=0.5: de functiewaarde is dan de top van de tent = a*x_n = (1/2)*a. De volgende waarde is dan x_(n+1) = (1/2)*a. Omdat 1<a<2 is (1/2) < x_(n+1) < 1.
Deze waarde wordt afgebeeld op a*(1-(1/2)*a). Omdat 1<a<2 is 0 < a*(1-(1/2)*a) < (1/2).
En deze wordt vervolgens altijd vermenigvuld met a>1, dus a*(1-(1/2)*a) is de kleinste waarde die via chaos bereikt kan worden.
Dan de overige waarden van x_n:
Zolang x_n < a*(1-(1/2)*a) zal x_n groeien steeds met een factor a totdat het chaosgebied bereikt wordt.
Als x_n > (1/2)*a is x_n zeker groter dan (1/2), en zal worden afgebeeld op een getal < a*(1-(1/2)*a), en komt daarmee in het groeigebied terecht.
Dus de chaos bevindt zich in het gebied a*(1-(1/2)*a) < x_n < (1/2)a.
(3)
als a=1 geldt als x_n <= 0.5: x_(n+1) = 1 * x_n = x_n: stabiliteit: x verandert niet
als a=1 en x_n > 0.5: x_(n+1) = 1 - x_n. Hiermee is x_(n+1) < 0.5 en blijft verder stabiel.
Kom je zo verder?
Re: Chaos en orde (tentafbeeldingen)
Jaa, helemaal top!
Heeeel erg bedankt
Heeeel erg bedankt