exp. equation

juantheron · Bericht door **juantheron** » 10 okt 2011, 04:20

calculate value of $x$ in $27^{\frac{1}{x}}+12^{\frac{1}{x}} = 2\times 8^{\frac{1}{x}}$

Bericht door **SafeX** » 10 okt 2011, 13:04

Wat is het probleem?

Bericht door **wnvl** » 11 okt 2011, 17:44

I think this problem has to be solved numerically.

Bericht door **SafeX** » 11 okt 2011, 18:24

Er valt niet veel op te lossen ...
Onderzoek de functie (bv) f(x)= 2^(1/x), in 't bijzonder
$\lim_{x\to -0}f(x)$

Bericht door **wnvl** » 11 okt 2011, 22:39

SafeX schreef:Er valt niet veel op te lossen ...
Onderzoek de functie (bv) f(x)= 2^(1/x), in 't bijzonder
$\lim_{x\to -0}f(x)$

Klopt. Ik was verkeerd, er is inderdaad geen oplossing.

tsagld · Bericht door **tsagld** » 12 okt 2011, 09:58

$\lim_{x\to \infty}f(x) = 27^{\frac{1}{x}}+12^{\frac{1}{x}} = 2$
$\lim_{x\to \infty}f(x) = 2\times 8^{\frac{1}{x}}= 2$

Geen oplossing dus, maar voor $x\to \infty$ benader je het.

Bericht door **SafeX** » 12 okt 2011, 11:23

@tsagld
En wat denk je van x->0-?

tsagld · Bericht door **tsagld** » 12 okt 2011, 12:37

Nadert ook naar 2 inderdaad

juantheron · Bericht door **juantheron** » 14 okt 2011, 10:25

Yes Given equation has no solution.

$$(1)\;\; $a,b,c,d\in\mathbb{R^{+}}\;\;,a+b+c+d=1.$

Then prove that

$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\dfrac{10}{3}\right)^3$

$(2)\;\; a,b,c\in \left[0,\infty\right)$ . Then prove that

$\displaystyle \left(a-\dfrac{1}{b}\right). \left(b-\dfrac{1}{c}\right). \left(c-\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(a-\dfrac{1}{a}\right). \left(b-\dfrac{1}{b}\right). \left(c-\dfrac{1}{c}\right)$

Bericht door **wnvl** » 14 okt 2011, 20:33

juantheron schreef:Yes Given equation has no solution.

$$(1)\;\; $a,b,c,d\in\mathbb{R^{+}}\;\;,a+b+c+d=1.$

Then prove that

$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\dfrac{10}{3}\right)^3$

$(2)\;\; a,b,c\in \left[0,\infty\right)$ . Then prove that

$\displaystyle \left(a-\dfrac{1}{b}\right). \left(b-\dfrac{1}{c}\right). \left(c-\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(a-\dfrac{1}{a}\right). \left(b-\dfrac{1}{b}\right). \left(c-\dfrac{1}{c}\right)$

Sure about (1)? d is not used anymore in $\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\dfrac{10}{3}\right)^3$

Tried (2) but did not find a solution.

Bericht door **David** » 15 okt 2011, 09:09

Uit de vraag volgt dat $\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\dfrac{10}{3}\right)^3$

Voor alle $0< a+b+c < 1$ (0 < d < 1). Kan je hier wat mee?

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 15 okt 2011, 19:17

juantheron schreef: $$(1)\;\; $a,b,c,d\in\mathbb{R^{+}}\;\;,a+b+c+d=1.$

Then prove that

$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\dfrac{10}{3}\right)^3$

It is easy to prove that it is in fact larger than $8$ . To do this, convert each term to the form like $\frac{ab+1}{b}$ , and expand it all the way. You end up with
$f(abc) + f(a) + f(b) + f(c)$
where $f(x) = x + \frac{1}{x} \geq 2$ for all x's.

Obviously, $8 = 1000/25 > 1000/27 = (10/3)^3$ . I'm interested in your solution though, to see where the form $(10/3)^3$ would come from.

$(2)\;\; a,b,c\in \left[0,\infty\right)$ . Then prove that

$\displaystyle \left(a-\dfrac{1}{b}\right). \left(b-\dfrac{1}{c}\right). \left(c-\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(a-\dfrac{1}{a}\right). \left(b-\dfrac{1}{b}\right). \left(c-\dfrac{1}{c}\right)$ [/quote]
This question is bogus, it would include that for $a = b = c = 0$ , some equation involving dividing by these variables would hold.

Bericht door **David** » 15 okt 2011, 21:37

Sorry, but I get 8 = 1000/125 < 1000 / 27 etc.

Bericht door **David** » 15 okt 2011, 22:08

stel even: a + b + c = 1
Voor a = b = c = 1/3 geldt dan:
$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right) = \left(\frac{10}{3}\right)^3$

Voor f(x) = x + 1/x geldt tussen 0 en 1 dat als x afneemt, f meer toeneemt dan dat f afneemt als x met de zelfde waarde toeneemt. f(x-t) - f(x) > f(x+t) - f(x) voor t > 0.

Dus
$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\frac{10}{3}\right)^3$

Als er minstens een a, b of c ongelijk is aan 1/3.
Hier, d = 0, maar als d > 0 dan geldt hetzelfde idee. Eigenlijk:

$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\frac{1-d}{3} + \frac{3}{1-d}\right)^3$

Bericht door **wnvl** » 16 okt 2011, 03:05

David schreef:stel even: a + b + c = 1
Voor f(x) = x + 1/x geldt tussen 0 en 1 dat als x afneemt, f meer toeneemt dan dat f afneemt als x met de zelfde waarde toeneemt. f(x-t) - f(x) > f(x+t) - f(x) voor t > 0.

Bovenstaande begrijp ik wel. f'(x) is stijgend op het interval van 0 tot 1

Maar ik begrijp niet hoe je daaruit onderstaande conclusie kan trekken.

David schreef:stel even: a + b + c = 1
$\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right).\left(b+\dfrac{1}{c}\right).\left(c+\dfrac{1}{a}\right)\geq \left(\frac{10}{3}\right)^3$

Als er minstens een a, b of c ongelijk is aan 1/3.

Merk op dat er staat $\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{b}\right)...$ en niet $\displaystyle \left(a+\dfrac{1}{a}\right)...$

Wiskundeforum

exp. equation

exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation

Re: exp. equation