waarom is dit complex?

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 18 jun 2012, 01:46

$x=(-3)^{\frac{2}{3}}$

Volgens WolframAlpha is dit

$x\approx-1.04+1.80i$

(zie hier)

Zelf had ik dit bedacht:

$x=\sqrt[3]{(-3)^2}$

$x=\sqrt[3]{9}$

$x=\sqrt[3]{3^2}$

$x=3^{\frac{2}{3}}$

$x\approx2.08$

En MS Wiskundehulp 4.0 geeft mij gelijk...

$Afbeelding$

Nu moet ik zeggen dat mijn vertrouwen in WA een stukje groter is dan in MSW, maar toch...
Ben een beetje verward op dit moment.......

Bericht door **arie** » 18 jun 2012, 07:50

Dan zou volgens jouw methode ook gelden:

$-1 = -1^1 = -1^{\frac{2}{2}} = (-1^2)^{\frac{1}{2}} = 1$

Hier staat wat meer uitleg over dit probleem (in het Engels, de Nederlandse versie van die pagina is te summier):
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Kijk vooral onder de paragrafen:
Rational powers
en
Failure of power and logarithm identities
op die pagina.

Bericht door **SafeX** » 18 jun 2012, 12:13

Er is verschil in de notaties:
$f(x)=\sqrt[3]{x^2}\;en\;g(x)=x^{2/3}$

Bij f geldt x element R en bij g geldt x>0

Bekijk in dit verband ook de grafiek van a^x waarbij a>0 en x element R is.

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 18 jun 2012, 14:07

arie schreef:Dan zou volgens jouw methode ook gelden:

$-1 = -1^1 = -1^{\frac{2}{2}} = (-1^2)^{\frac{1}{2}} = 1$

Dit zou wel bijzonder rare gevolgen hebben...

arie schreef:Hier staat wat meer uitleg over dit probleem (in het Engels, de Nederlandse versie van die pagina is te summier):
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation
Kijk vooral onder de paragrafen:
Rational powers
en
Failure of power and logarithm identities
op die pagina.

Ik heb de pagina al eens vlug doorgenomen, en ik ga ze dadelijk wat grondiger bekijken.

SafeX schreef:Er is verschil in de notaties:
$f(x)=\sqrt[3]{x^2}\;en\;g(x)=x^{2/3}$

Bij f geldt x element R en bij g geldt x>0

Bekijk in dit verband ook de grafiek van a^x waarbij a>0 en x element R is.

MSW4 geeft voor beide functies dezelfde grafiek,
en in WA weet ik niet hoe ik een 3de wortel moet ingeven zonder gebruik te maken van de 1/3de macht...

Ik ga nu eerst dat artikel lezen, en dan kom ik hier wel op terug!

Bericht door **arie** » 18 jun 2012, 18:46

Je kan ook uitgaan van de complexe getallen:

Kijk in C naar de functie

$f(x) = (3e^{i \pi})^x$

Herschrijf dit zo nodig m.b.v. de formule van Euler, voor welke waarden van x is f(x) reeel?

En wat is de waarde van f(2/3) ?

Bericht door **SafeX** » 18 jun 2012, 21:15

arie schreef: $f(x) = (3e^{i \pi})^x$

Ken je de notatie die arie voorstelt?

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 19 jun 2012, 14:48

SafeX schreef:Ken je de notatie die arie voorstelt?

Nee!
Ik had ze al wel al eens gezien, maar tot nu toe nog nooit de noodzaak gehad om ze toe te passen.

arie schreef: $f(x) = (3e^{i \pi})^x$
Herschrijf dit zo nodig m.b.v. de formule van Euler, voor welke waarden van x is f(x) reeel?
En wat is de waarde van f(2/3) ?

Eerlijk gezegd begrijp ik die formule ook niet echt hoor...
Na wat opzoekingen op Wiki kan ik ze wel blindelings toepassen (denk ik)

$(3e^{i\pi})^{\frac{2}{3}}=3^{\frac{2}{3}}\cdot e^{\frac{2i\pi}{3}}$
Als een complex getal genoteerd wordt met pool-coordinaten $r\angle \theta$
dan is $r=3^{\frac{2}{3}}$ en $\theta=\frac{2\pi}{3}$
Het reele deel is $Re=3^{\frac{2}{3}}\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\approx-1.04$
Het imaginaire deel is $Im=3^{\frac{2}{3}}\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)i\approx1.80i$
En dus $(-3)^{\frac{2}{3}}\approx-1.04+1.80i$

arie schreef:.... voor welke waarden van x is f(x) reeel?

Euuuhhh... elk geheel getal x?

Zoals ik al zei: dit is puur technisch toepassen wat er in de formules staat.
Maar wat IS $e^{i\pi}$
Voor de gein heb ik even berekend $e^{\pi}\approx23.14$
Met een i erbij in de exponent wordt het plots -1

Ik kan mij ook echt niets voorstellen bij 'een getal tot een imaginaire macht'...

Bericht door **wnvl** » 19 jun 2012, 15:36

$e^{i\pi}=-1$

De mooiste formule uit de wiskunde die er bestaat. 3 getallen die niets met elkaar te maken hebben, komen samen in 1 formule.

Filmpje met Dirk Verhofstadt (broer van de ex-premier) en prof. Etienne Vermeersch (bekend filosoof in België) over de schoonheid van deze formule.

http://www.youtube.com/watch?v=hVn3QQztz8Q

Bericht door **arie** » 19 jun 2012, 15:39

Er zijn een aantal bewijzen voor de formule van Euler.

Een mooi bewijs loopt via machtreeksen, maar ik weet niet of je daar al bekend mee bent.
In het kort:

Je kan diverse functies, waaronder e^x, sin(x) en cos(x), weergeven als reeksen:

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + ...$

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \frac{x^9}{9!} - ...$

$\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - ...$

Ga er vooralsnog van uit dat deze formules kloppen.
Neem dan de formule voor e^x, en substitueer daarin $x = i \alpha$
Werk daarbij machten van i uit tot de laagste vorm (= i tot de macht nul of 1), bv: i^3 = -i, i^4 = 1, etc.
Splits de reeks in reele en imaginaire termen, haal i buiten haakjes en vergelijk het resultaat met de formules voor sin(x) en cos(x).

Daarna kan je ook eens hier naar kijken:
http://www.astrovdm.com/Reeksontwikkeling.pdf
dit is een mooi startpunt voor de theorie van machtreeksen.

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 19 jun 2012, 16:00

wnvl schreef: $e^{i\pi}=-1$

De mooiste formule uit de wiskunde die er bestaat. 3 getallen die niets met elkaar te maken hebben, komen samen in 1 formule.

Filmpje met Dirk Verhofstadt (broer van de ex-premier) en prof. Etienne Vermeersch (bekend filosoof in België) over de schoonheid van deze formule.

http://www.youtube.com/watch?v=hVn3QQztz8Q

Leuk filmpje!

En als geboren Belg zijn beide personen mij niet onbekend...

Mijn 'eeuwige probleem' is echter:
als ik iets niet 'ook intuitief aanvoel',
als ik er mij niet 'iets kan bij voorstellen',
dan krijg ik het bijzonder moeilijk...

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 19 jun 2012, 16:13

arie schreef:Een mooi bewijs loopt via machtreeksen, maar ik weet niet of je daar al bekend mee bent.

Zoals mijn vorig bericht: al wel gezien, maar nog niet echt mee gewerkt...
Ik ga het nu eens grondig bekijken!

arie schreef:Daarna kan je ook eens hier naar kijken:
http://www.astrovdm.com/Reeksontwikkeling.pdf
dit is een mooi startpunt voor de theorie van machtreeksen.

Oké. Zal het zeker doornemen.

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 19 jun 2012, 18:48

arie schreef:... Je kan diverse functies, waaronder e^x, sin(x) en cos(x), weergeven als reeksen: ...

Ik heb je aanwijzingen netjes opgevolgd, en krijg hetzelfde resultaat als Euler een paar eeuwen geleden... (al goed

)

arie schreef:Daarna kan je ook eens hier naar kijken:
http://www.astrovdm.com/Reeksontwikkeling.pdf
dit is een mooi startpunt voor de theorie van machtreeksen.

Waarlijk wonderbaarlijk...
Die 'MacLaurin-reeks' en 'Taylor-reeks' zal zowat het laatste geweest zijn wat ik jaren geleden in het laatste jaar humaniora geleerd heb. Ik heb er toen niet echt veel aandacht aan besteed.
Hoe die reeksen precies tot stand komen, moet ik nu wat nauwkeuriger bekijken, maar gelukkiglijk heb ik daar toch al dat 'intuitief gevoel' bij de rico's...

Bericht door **SafeX** » 19 jun 2012, 21:11

Het is niet noodzakelijk die formule te kennen. En evenmin de reeksen!
Als je dat perse wel wilt dan kan je voldoende vinden op internet.

Jánošík · Bericht door **Jánošík** » 20 jun 2012, 01:41

SafeX schreef:Het is niet noodzakelijk die formule te kennen. En evenmin de reeksen!

Zonder die formule blijft voor mij $(-3)^{\frac{2}{3}}$ gewoon zo staan gelijk het er staat.
Mèt die formule kan ik het omzetten naar pool- of rechthoek-coordinaten, wat mij toch net iets meer zegt, en dus zeer welkom is (net als de reeksen die verklaren waar de formule vandaan komt).
Als je bedoelt dat die formule niet nodig is om aan te tonen dat $a^{b/c}}$ niet hetzelfde is als $\sqrt[c]{a^b}$ voor a<0, dan heb je natuurlijk gelijk, en zaten we off-topic.

SafeX schreef:Als je dat perse wel wilt dan kan je voldoende vinden op internet.

Juist! Maar dan moet ik wel eerst weten dat die formule/reeksen bestaan he...

En dus... terug on-topic...
Wat moet ik nu met iets als $\sqrt[3]{(x-5)^4}$
Blijkbaar mag ik dit niet zomaar gelijk stellen aan $(x-5)^{\frac{4}{3}}$
Dat zou nochtans wel mijn eerste stap zijn als ik die expressie moest integreren...

Bericht door **SafeX** » 20 jun 2012, 09:37

Jánošík schreef:En dus... terug on-topic...
Wat moet ik nu met iets als $\sqrt[3]{(x-5)^4}$
Blijkbaar mag ik dit niet zomaar gelijk stellen aan $(x-5)^{\frac{4}{3}}$

Dit is (niet complex):

$(x-5)\sqrt[3]{x-5}$

Hoe zou je: (-1)^(2/3) in het complexe vlak tekenen, maw wat zijn modulus en argument?

Wiskundeforum

waarom is dit complex?

waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?

Re: waarom is dit complex?