Deelbaarheid

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 03 dec 2019, 17:11

Wat is het grootste getal van 10 verschillende cijfers dat deelbaar is door alle gehele getallen van 2 tot 18.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3355
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Deelbaarheid

Bericht door arie » 03 dec 2019, 20:07

Waar komt deze opgave vandaan?
Is het een programmeeropdracht?

Ik kom uit op 99887766421355312400 als grootste getal deelbaar door 2 t/m 18 waarbij alle cijfers precies 2 keer voorkomen.

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 04 dec 2019, 06:57

Bedankt voor uw reactie.
Deze vraag is onderdeel van een puzzel.
Omdat er in de opdracht sprake is van "het getal abcdefghij", vermoed ik echter dat het getal maar uit 10 cijfers mag bestaan die elk één keer voorkomen. Ik twijfel ook of 18 mag meegerekend worden.
Hoe berekenen je dit zo snel?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3355
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Deelbaarheid

Bericht door arie » 04 dec 2019, 09:49

Als een getal n deelbaar moet zijn door getallen 2 t/m k, dan moet dat getal n deelbaar zijn door de hoogste macht van alle priemgetallen kleiner of gelijk aan k, dus ook door d = het produkt van al die hoogste machten.
In ons geval is k = 18,
de priemgetallen kleiner of gelijk aan 18 zijn:
\(2, 3, 5, 7, 11, 13 \text{ en } 17\)
De hoogste machten daarvan, die kleiner of gelijk aan 18 zijn, zijn:
\(2^4, 3^2, 5^1, 7^1, 11^1, 13^1, 17^1\)
ofwel
\(16,9,5,7,11,13 \text{ en }17\)

Ons getal n moet daarom deelbaar zijn door (= een veelvoud zijn van):
\(d = 16\times 9\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17 = 12252240\)
Merk op: omdat het getal n dat we zoeken deelbaar moet zijn door \(2\) en door \(9 \; (=3^2)\), is n ook altijd deelbaar door \(18 = 2 \times 3^2\)

We weten verder ook dat \(n \le 9876543210\) want n moet bestaan uit 10 verschillende cijfers,
en 9876543210 is daarvan het grootste.
Nu is (deling met rest):
\(9876543210 = 806\times 12252240 + 1237770\)
dus het grootste veelvoud van 12252240 kleiner dan 9876543210 is
\(806\times 12252240 = 9875305440\)

We moeten nu alleen nog het veelvoud n van 12252240 vinden zodanig dat alle cijfers van n verschillend zijn.
Hiertoe trekken we van 9875305440 herhaald 12252240 af, totdat we het gevraagde getal hebben.
Dit kan het beste met computer of rekenmachine:
9875305440 - 12252240 = 9863053200
9863053200 - 12252240 = 9850800960
9850800960 - 12252240 = 9838548720
9838548720 - 12252240 = 9826296480
...
4900896000 - 12252240 = 4888643760
4888643760 - 12252240 = 4876391520
En nu hebben we voor het eerst alle cijfers verschillend, dus de n die we zoeken is
\(n = 4876391520\):
- alle cijfers van 0 t/m 9 precies 1 keer gebruikt
- deelbaar door 1 t/m 18

Klopt dit getal met de rest van je puzzel?

PS:
Is dit wellicht een geocache puzzel?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 04 dec 2019, 12:29

Ik weet niet zeker maar het is mogelijk dat het een onderdeel is van een gecoache. Het is voor een vriend van mij en in zijn vrije tijd doet hij geloof ik aan geocaching. Is dit een probleem dat dergelijke puzzels of vragen hier worden geplaatst? Voor mezelf vind ik dit anders heel leerrijk. In ieder geval bedankt voor de moeite en de uitleg. Het getal 806 in die berekening is mij niet duidelijk hoe je dat bekomt. Zou je die nog willen verklaren?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 04 dec 2019, 17:56

Ik heb zopas nog eens rustig uw uitleg doorgenomen en begrijp nu waar het getal 806 vandaan komt. Nogmaals bedankt voor de klaar en duidelijke uitleg.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3355
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Deelbaarheid

Bericht door arie » 04 dec 2019, 19:25

[1] Hulp of uitleg over geocaching puzzels is op zich prima en leerzaam, maar het antwoord moet niet blijvend op dit forum blijven staan. Anders komt het antwoord in allerlei zoekmachines terecht, zodat op den duur iedereen het kan vinden zonder zelf daarover te hebben nagedacht. Dat is niet leuk voor de ontwerpers van die puzzels. Daarom verwijderen we hier die antwoorden na verloop van tijd (mocht je de uitwerkingen willen bewaren voor eigen gebruik, maak er dan tijdig een kopie van).

[2] Die 806 heb je dus al kunnen bepalen.
Merk nog op: deling met rest voor n=9876543210 en d=12252240 levert gehele getallen q en r zodanig dat
\(n = q \times d + r\)
waarbij
\(0 \le r < d\)

Je kan met een standaard rekenmachine al vinden:
\(\frac{n}{d} = \frac{9876543210}{12252240} = 806.10102397602... \)
en
\(806.10102397602... = 806+0.10102397602...\)
vermenigvuldig dit weer met d en je krijgt:
\(\left( n = d \times \frac{n}{d} =\right) d \times 806.10102397602... = d\times 806+ d\times 0.10102397602...\)
ofwel:
\(9876543210 = 9875305440 + 1237770\)


PS:
Klopt het eerder gegeven antwoord in de puzzel?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 05 dec 2019, 07:14

Of de oplossing klopt moet ik nog eens vragen aan mijn vriend. Hij heeft mij laten weten dat het inderdaad een opdracht is van een geocache. Met het getal moest hij dan nog een berekening maken. Hij heeft mij intussen laten weten dat het wel eens juist kon zijn. Ik laat het je in ieder geval nog weten.

Ik begrijp dat jullie die uitwerking ervan verwijderen na verloop van tijd. De uitwerking heb ik voor mijzelf al uitgeprint en zal netjes worden bijgehouden.

Met vriendelijke groet,
Patrick

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 13
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Deelbaarheid

Bericht door Patrick1960 » 07 dec 2019, 18:40

Zoals beloofd een bevestiging dat het bekomen getal juist is! Hij was enorm blij en hoopt in de toekomst terug op uw hulp te mogen rekenen als hij zelf de oplossing niet kan vinden.
Op mijn beurt wil ook ik u van harte bedanken voor al uw tijd.
Nog veel succes
Grts,
Patrick

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3355
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Deelbaarheid

Bericht door arie » 07 dec 2019, 19:07

Leuk om te horen.
Altijd welkom.

Plaats reactie