Puzzel over betovergrootouders

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
efdee
Vast lid
Vast lid
Berichten: 49
Lid geworden op: 07 mei 2016, 17:37

Puzzel over betovergrootouders

Bericht door efdee » 04 sep 2016, 22:29

Opa's opa is één van 'mijn' betovergrootouders.
In totaal heeft iedereen 32 betovergrootvaders en -moeders.
Probeer een schatting te maken van het aantal mensen op deze aardbol die nog 32 levende betovergrootouders hebben.
De nodige gegevens moet je zelf opzoeken. Motiveer je schatting.
(Ik weet het antwoord (nog) niet.)

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door wnvl » 05 sep 2016, 13:04

0

Ik denk dat ik het zo goed als zeker juist ga hebben.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door David » 07 sep 2016, 20:58

Ik denk ook 0, voor beide interpretaties van het probleem; alle voorouders van vier of vijf generaties terug.
efdee schreef:Opa's opa is één van 'mijn' betovergrootouders.
In totaal heeft iedereen 32 betovergrootvaders en -moeders.
Als alle (voor)ouders verschillende voorouders hebben, krijg ik 16 betovergrootvaders en -moeders. Incest kan een lager aantal geven.
Anders, bij maximaal 32 betovergrootouders is de vader van opa's opa een van de betovergrootouders (mensen met drie ouders daargelaten; is daar wel sprake van drie ouders?).

Hier een aantal mogelijkheden tot oplossen:
1. Ruwweg: Stel een vrouw krijgt gemiddeld een kind met 25 jaar, en de laatstgeborene is 0 jaar.
Dan is de voorouder van vier of generaties terug gemiddeld (4 * 25 + 0 = 100) resp. (5 * 25 + 0 = 125) jaar. Maak een vergelijkbare schatting voor de man. Stel, we komen uit op 100. Dus acht 100-jarige vrouwen en acht 100-jarige mannen leven allemaal nog. Wat is de kans daarop?

2. Kies de leeftijd van de jongste. Stel 0.
Zoek de gemiddelde leeftijd voor een vrouw om een kind te krijgen in 2016 op.
Zoek de gemiddelde leeftijd op om een kind te krijgen in het geboortejaar van de moeder.
Ga zo door tot je 4 of 5 generaties hebt gehad.
Voor een vrouw van een gemiddelde leeftijd van 3 resp. 4 generaties terug, zoek de gemiddelde leeftijd op voor een man om een kind te krijgen in haar geboortejaar.
Bepaal de kans dat 8 mannen en 8 vrouwen dan wel 16 mannen en 16 vrouwen nog in leven zijn van die leeftijden.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door wnvl » 08 sep 2016, 13:56

David schreef: Als alle (voor)ouders verschillende voorouders hebben, krijg ik 16 betovergrootvaders en -moeders.
Ooh, ik had foutief geredeneerd met die 32 van de TO. Als we gevallen vinden dan gaan we wel kinderen moeten hebben die op een leeftijd jonger dan 25jaar geboren zijn, lijkt mij. Uitgaan van een vaste leeftij van 25 gaat de kans onderschatten... Als je uitgaat van 25 dan moet je 16 mensen van 100 hebben. Kans is heel klein. Als je nu uitgaat van 20, dan heb je 16 mensen van 80... Dat zou wel moeten kunnen... Stel dat de kans om 80 te worden 1 op 2 is, dan komen we op 1//2^16=0.00001525878. Dus 15 gevallen op 1 miljoen. De kans op 5 kinderen op een rij geboren op de leeftijd van 20 is anderszijds ook weer onwaarschijnlijk.

We moeten als eerste stap de verdelingsfunctie hebben voor de leeftijd van de ouder bij de geboorte van een kind. Dan kunnen we vervolgens naar een verdelingsfunctie gaan voor de leeftijd van de betovergrootouders.... We kunnen er best vanuit gaan dat die dingen stationair waren de laatste 100 jaar.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door David » 08 sep 2016, 21:46

wnvl schreef:We moeten als eerste stap de verdelingsfunctie hebben voor de leeftijd van de ouder bij de geboorte van een kind.
Laat ons dat proberen. CBS geeft de volgende data.
CBS, Geboorte; leeftijd moeder (exact) 1950-2014 schreef:

Code: Selecteer alles

Jonger dan 20 jaar	      2012	2 203
	                        2013	1 901
	                        2014	1 796
20 tot 25 jaar	          2012	17 723
	                        2013	17 029
	                        2014	16 731
25 tot 30 jaar	          2012	54 046
	                        2013	52 894
	                        2014	54 087
30 tot 35 jaar             2012	65 820
	                        2013	64 331
	                        2014	66 460
35 tot 40 jaar	          2012	30 195
	                        2013	29 518
	                        2014	30 118
40 tot 45 jaar	          2012	5 702
	                        2013	5 412
	                        2014	5 706
45 jaar of ouder	        2012	270
	                        2013	256
	                        2014	283
We kunnen dan het probleem vereenvoudigen door uit te gaan dat alle vrouwen jonger dan 20 die een kind krijgen minstens 15 zijn en dat alle vrouwen van minstens 45 jaar jonger dan 50 zijn. Dan kunnen we een jaar kiezen (of een (gewogen) gemiddelde nemen, maar het resultaat maakt voor de manier van rekenen niet uit). Stel, we kiezen jaar 2012. Laten we ook geen rekening te houden met of het om een eerste, tweede of nog later kind gaat (ondanks dat misschien is aan te voeren dat de sterftekans voor een baby bij een oudere moeder mogelijk hoger is. Dat meewegen geeft zoveel haken en ogen.).

Stel is de kans dat een vrouw een kind krijgt in leeftijd 5 * i tot 5 * (i + 1), voor i in {3, 4, ..., 9}.
We kunnen dan de kansverdeling formuleren als
voor een generatie.

geeft dan de kans dat een vrouw een kind krijgt in leeftijd 5 * k tot 5 * (k + 1). De factor geeft onderscheid tussen de kansen.

En voor vier generaties terug.
Het uitwerken van de polynoom geeft de kansen voor 60 tot 200 jaar (weer, voor vier generaties).
Niet alle voorouders hoeven dezelfde leeftijd te hebben. Bijvoorbeeld, tussen de geboorte van twee oma's kan 5 jaar zitten.
Zover okay?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door wnvl » 08 sep 2016, 22:18

Misschien de klassegemiddelden nemen en onderaan op 18 zetten en bovenaan op 47?
Die van 47 gaan overigens toch nooit in aanmerking komen, dus dat maakt niet uit.

Dus dan hebben we

(2203*x^18 + 17723*x^22 + 54046*x^27 + 65820*x^32 + 30195*x^37 +5702*x^42 + 270*x^47)/175 959

Het gemakkelijkste is wel om de i gelijk te stellen aan de leeftijd.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door wnvl » 08 sep 2016, 22:28

Je moet eigenlijk ook een model hebben voor het verband tussen de leeftijd van de vader en de moeder. Of je kan die misschien gelijk nemen als benadering.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: Puzzel over betovergrootouders

Bericht door David » 11 sep 2016, 22:04

We kunnen een gemiddeld leeftijdsverschil c kiezen (voor alle leeftijden van vrouwen door alle jaren). Dat is: gemiddeld is de vader c jaar ouder dan de moeder.
Dan zijn er voorouders 4c jaar ouder dan de vrouw, voorouders 3c jaar ouder dan de vrouw. Maar laten we c = 0 stellen.


Met het nemen van het klassengemidelde kom ik dan uit op (139.7545147598738205593418839*x^105 + 9063.932476220516981238150926*x^104 + 26363.20448430285408698528620*x^103 + 0.01204540221405435267604664407*x^101 +
236.8808639569862630754497526*x^100 + 5189.996315138286851078677715*x^99 + 7271.493997998969566907512621*x^98 + 0.2543810497205108109585850536*x^96 + 248.6268770823722130451593951*x^95 + 1997.765876201935738873563406*x^94 + 1255.420800640961454710799964*x^93 + 1.347077480938411774271216361*x^91 + 159.5976558169495417062712621*x^90 + 468.1530255281901627367644848*x^89 + 102.9207658742541532298389694*x^88 + 2.936401384181694419027370787*x^86 + 58.19224257961986844829273599*x^85 + 51.17292720667649936587152280*x^84 + 2.411132622447339054554136760*x^81 + 9.541326973676154835779633646*x^80 + 0.7906691238506862684354617511*x^76 + 0.02457038988663123976419514526*x^72)/10^6

(Termen mod x^107).

Van de 9158782 60-jarigen sterft (9158782-7598235 = 1560547) voor hun 72-ste.
Van de 7598235 72-jarigen sterft (7598235-5289291 = 2308944) voor hun 80-ste. 72 als klassengemiddelde lijkt wel een vertekening te geven. Zie SPO (2005-2010); http://www.spo.nl/Uploads/2014/2/2014-0 ... 5-2010.pdf
Hoe erg is denk je de vertekening? Ik denk niet zo erg.

Door geen klassengemiddelde te kiezen, komen we tot uitspraken als "0.02457038988663123976419514526 van 10^6 mensen is grootouder van grootouder en van 60 tot 80 jaar".
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie