Wiskundeforum

Bewijs door gebruik te maken van verwante hoeken:

4sin(120graden)^3+3sin(240graden)=0

Bedankt

Kan je sin(120 graden) uitdrukken in de sinus van een hoek alfa tussen 0 en 90 graden?
Kan je sin(240 graden) ook uitdrukken in de sinus van diezelfde hoek alfa?

Kom je zo verder?

Bedankt maar nee.

Als we de hoeken uitzetten op de eenheidscirkel krijgen we bovenstaand plaatje.

We zoeken nu de hoek alfa (rood) waarvoor geldt:
\(\sin(\alpha) = \sin(120^{\circ})\)

Om cosinussen te herleiden zijn er verschillende formules:
\(\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)\)
\(\cos(180^{\circ}-\alpha) = -\cos(\alpha)\)
\(\cos(\alpha+360^{\circ}) = \cos(\alpha)\)

Wat zijn de vergelijkbare formules voor sinussen?
Kan je nu hoek alfa vinden?

Beste,

Ik heb hoek alpha=60graden maar wat moet ik nu doen? Antwoord alstublieft zo snel mogelijk, bedankt.

Klopt,

\(\sin(120^{\circ})=\sin(60^{\circ})\)
en
\(\sin(240^{\circ})=-\sin(60^{\circ})\)

Dit hoef je alleen nog maar in te vullen in je oorspronkelijke vergelijking:

\(4\sin(120^{\circ})^3 + 3\sin(240^{\circ}) \)
\(= 4\sin(60^{\circ})^3 - 3\sin(60^{\circ}) \)
\(= \sin(60^{\circ}) \left[4\sin(60^{\circ})^2 - 3\right] \)

en de waarde van \(\sin(60^{\circ})\) kennen we:
\(\sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\)
Vul dit in in de laatste vergelijking, wat komt daar dan uit?