Sinus cosinus

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Sinus cosinus

Bericht door JackMol » 04 jan 2020, 20:15

https://ibb.co/Pc07L0W

De sinus en cosinus kunnen toch enkel tussen -1 en 1 liggen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Sinus cosinus

Bericht door arie » 05 jan 2020, 00:00

Teken een grafiek van 0 tot 2\(\pi\) van:
g(x) = cos(x)
h(x) = sin(x)

Onze grafiek van f(x) is dan het maximum van g(x) en h(x)
(ofwel: "f(x) volgt steeds de bovenste van die 2 curves")

Kan je hiermee bepalen waar het minimum van f(x) ligt?
(ofwel: "wat is de kleinste y-waarde die f(x) kan bereiken?)

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Sinus cosinus

Bericht door JackMol » 05 jan 2020, 17:59

Op grafiek zie ik dat het het minimum van antwoord C is, kleinste van hun snijpunten. Maar zou ik het ook zonder grafiek kunnen berekenen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Sinus cosinus

Bericht door arie » 05 jan 2020, 20:46

We zoeken over een hele periode \(x \in [0, 2\pi \rangle\) de snijpunten van g(x) en h(x):

\(g(x) = h(x)\)

\(\cos(x) = \sin(x)\)

\(1 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(\tan(x) = 1\)

\(x=\frac{1}{4}\pi \;\text{ of }\; x=\frac{5}{4}\pi \)

Nu moeten we alleen nog kijken welke waarde van x de kleinst mogelijke y-waarde levert:

\(\cos(\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(\cos(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Dus de laagste waarde die \(f(x) = \max\{g(x), h(x)\}\) kan bereiken is \(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Sinus cosinus

Bericht door JackMol » 05 jan 2020, 22:52

Bedankt!

Plaats reactie