Wiskundeforum

https://ibb.co/Pc07L0W

De sinus en cosinus kunnen toch enkel tussen -1 en 1 liggen?

Teken een grafiek van 0 tot 2\(\pi\) van:
g(x) = cos(x)
h(x) = sin(x)

Onze grafiek van f(x) is dan het maximum van g(x) en h(x)
(ofwel: "f(x) volgt steeds de bovenste van die 2 curves")

Kan je hiermee bepalen waar het minimum van f(x) ligt?
(ofwel: "wat is de kleinste y-waarde die f(x) kan bereiken?)

Op grafiek zie ik dat het het minimum van antwoord C is, kleinste van hun snijpunten. Maar zou ik het ook zonder grafiek kunnen berekenen?

We zoeken over een hele periode \(x \in [0, 2\pi \rangle\) de snijpunten van g(x) en h(x):

\(g(x) = h(x)\)

\(\cos(x) = \sin(x)\)

\(1 = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(\tan(x) = 1\)

\(x=\frac{1}{4}\pi \;\text{ of }\; x=\frac{5}{4}\pi \)

Nu moeten we alleen nog kijken welke waarde van x de kleinst mogelijke y-waarde levert:

\(\cos(\frac{1}{4}\pi) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\)

\(\cos(\frac{5}{4}\pi) = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Dus de laagste waarde die \(f(x) = \max\{g(x), h(x)\}\) kan bereiken is \(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

Bedankt!