minimaal aantal stompe hoeken

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door JackMol » 05 jan 2020, 19:49

Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?
Ik weet niet hoe ik hierachter kan komen...
Ik kan wel een vijfhoek tekenen met 2 stompe hoeken, dus is het misschien n-3?
Tekening:
https://ibb.co/LpmvfyZ

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door SafeX » 05 jan 2020, 20:48

JackMol schreef:
05 jan 2020, 19:49
Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?
Probeer dit eerst eens na te gaan voor een regelmatige n-hoek.

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door JackMol » 05 jan 2020, 22:56

SafeX schreef:
05 jan 2020, 20:48
JackMol schreef:
05 jan 2020, 19:49
Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?
Probeer dit eerst eens na te gaan voor een regelmatige n-hoek.
Dan is het n-2?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door arie » 06 jan 2020, 21:57

JackMol schreef:
05 jan 2020, 22:56
Dan is het n-2?
Nee.
Het minimaal aantal stompe hoeken = het maximaal aantal niet-stompe hoeken.
Je huisje hierboven, een vijfhoek, had al 3 niet-stompe hoeken en 2 stompe hoeken,
dus we zaten al op n-3 stompe hoeken.

De vraag is vervolgens: kan de vijfhoek ook 4 niet-stompe hoeken hebben?

Een vijfhoek heeft een hoekensom van \((5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\)
Als we daarvan zo veel mogelijk graden gebruiken voor de 3 niet-stompe hoeken, dan houden we
\(540^\circ - 3\cdot 90^\circ = 270^\circ\) over voor de andere 2 hoeken.
Als een vierde hoek \(\le 90^\circ\) moet zijn dan moet de vijfde hoek dus \(\ge 180^\circ\) zijn,
en dit kan niet voor een convexe vijfhoek.

Hoe zit dit voor convexe n-hoeken met \(n > 5\) ?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door JackMol » 08 jan 2020, 01:08

Zeer bedankt! Dus n-3.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: minimaal aantal stompe hoeken

Bericht door arie » 08 jan 2020, 08:05

Klopt: als we elke convexe n-hoek (\(n \ge 5\)) uitbreiden met nog een hoek tot een convexe (n+1)-hoek, dan krijgt de hoekensom van die veelhoek er \(180^\circ\) bij. Er is dan nooit ruimte ontstaan voor een extra niet-stompe hoek.

Plaats reactie