Wiskundeforum

Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?
Ik weet niet hoe ik hierachter kan komen...
Ik kan wel een vijfhoek tekenen met 2 stompe hoeken, dus is het misschien n-3?
Tekening:
https://ibb.co/LpmvfyZ

JackMol schreef: ↑

05 jan 2020, 19:49

Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?

Probeer dit eerst eens na te gaan voor een regelmatige n-hoek.

SafeX schreef: ↑

05 jan 2020, 20:48

JackMol schreef: ↑

05 jan 2020, 19:49

Wat is het minimaal aantal stompe hoeken van een convexe veelhoek met n zijden
(n ≥ 5)?

Probeer dit eerst eens na te gaan voor een regelmatige n-hoek.

Dan is het n-2?

JackMol schreef: ↑

05 jan 2020, 22:56

Dan is het n-2?

Nee.
Het minimaal aantal stompe hoeken = het maximaal aantal niet-stompe hoeken.
Je huisje hierboven, een vijfhoek, had al 3 niet-stompe hoeken en 2 stompe hoeken,
dus we zaten al op n-3 stompe hoeken.

De vraag is vervolgens: kan de vijfhoek ook 4 niet-stompe hoeken hebben?

Een vijfhoek heeft een hoekensom van \((5-2)\cdot 180^\circ = 540^\circ\)
Als we daarvan zo veel mogelijk graden gebruiken voor de 3 niet-stompe hoeken, dan houden we
\(540^\circ - 3\cdot 90^\circ = 270^\circ\) over voor de andere 2 hoeken.
Als een vierde hoek \(\le 90^\circ\) moet zijn dan moet de vijfde hoek dus \(\ge 180^\circ\) zijn,
en dit kan niet voor een convexe vijfhoek.

Hoe zit dit voor convexe n-hoeken met \(n > 5\) ?

Zeer bedankt! Dus n-3.

Klopt: als we elke convexe n-hoek (\(n \ge 5\)) uitbreiden met nog een hoek tot een convexe (n+1)-hoek, dan krijgt de hoekensom van die veelhoek er \(180^\circ\) bij. Er is dan nooit ruimte ontstaan voor een extra niet-stompe hoek.