Cirkel en raaklijn

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Cirkel en raaklijn

Bericht door JackMol » 05 jan 2020, 22:59

https://ibb.co/Wp3VkSq
Ik vind deze oefening zeer ingewikkeld.
Ik wil te werk gaan door hoek p en q te berekenen in driehoek pqd om zo dan 180-(p+q) uit te rekenen, maar ik weet niet zo goed hoe...
Graag had ik een tip gehad.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Cirkel en raaklijn

Bericht door arie » 06 jan 2020, 16:08

Afbeelding

Alle punten van vijfhoek ABPQC liggen op een cirkel, dus de vijfhoek is opgebouwd uit 5 gelijkbenige driehoeken.
De som van de hoeken van deze vijfhoek moet gelijk zijn aan \(540^\circ\), dus
\(2\cdot(\sigma + \rho + \theta + \nu + \tau ) = 540^\circ\)

Gegeven: \(\alpha + \beta = 80^\circ\)
Wat is dan de som \(\sigma + \rho\) ?

Gegeven: PQ is een kwart cirkelboog, dus driehoek POQ (blauw in het plaatje) is rechthoekig.
Hoe groot zijn dan de hoeken \(\nu\) ?

Wat kan je uit bovenstaande concluderen voor de som \(\theta + \tau\) ?


Kijk nu naar de vierhoek ABDC.
De som van de hoeken hiervan is
\(2\sigma + 2\rho + \theta + \tau + \delta\)
Hoeveel graden moet deze hoekensom zijn?
Hoe groot is \(\delta\) dus?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Cirkel en raaklijn

Bericht door JackMol » 06 jan 2020, 18:32

Zeer bedankt!

"Gegeven:
α + β =80 ∘
Wat is dan de som
σ + ρ ?"
σ + ρ=100∘

"Gegeven: PQ is een kwart cirkelboog, dus driehoek POQ (blauw in het plaatje) is rechthoekig.
Hoe groot zijn dan de hoeken ν ?"
De hoeken ν zijn dan elk 45∘

2⋅(σ+ρ+θ+ν+τ)=540 ∘ => θ +τ=125∘

2σ+2ρ+θ+τ+δ= 360∘ => δ=35∘ ?

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Cirkel en raaklijn

Bericht door JackMol » 06 jan 2020, 18:33

Is het vaak zo dat als er een vierhoek, vijfhoek, zeshoek... in een cirkel getekend staat, dat ik met driehoeken moet werken?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Cirkel en raaklijn

Bericht door arie » 06 jan 2020, 20:05

JackMol schreef:
06 jan 2020, 18:32
\(δ=35^\circ\) ?
Klopt.

JackMol schreef: Is het vaak zo dat als er een vierhoek, vijfhoek, zeshoek... in een cirkel getekend staat, dat ik met driehoeken moet werken?
Dat hangt van de opgave af.
Als alle punten van een veelhoek op een cirkel liggen, dan is het wel altijd iets om aan te denken:
alle punten hebben dan dezelfde afstand tot het middelpunt van de cirkel, de driehoeken zijn dus gelijkzijdig en hebben 2 gelijke hoeken (bij \(60^\circ\) zelfs 3 gelijke hoeken).
Dat kan nuttige informatie opleveren, zoals we in deze opgave gezien hebben.


Als de punten van een driehoek op een cirkel liggen, dan kan je ook nog denken aan de stelling van Thales:
als een zijde van de driehoek samenvalt met een middellijn van de cirkel, dan is die driehoek rechthoekig.
Zie https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_ ... _(cirkels)


Nog algemener is deze situatie:
Afbeelding
Als de hoek vanuit zijde AB naar middelpunt M gelijk is aan \(2\theta\), dan is de hoek vanuit AB naar het derde punt van de driehoek \(\theta\) of \(180^\circ - \theta\)
Merk op: als \(2\theta = 180^\circ\), dan is \(\theta = 90^\circ\) en is \(180^\circ-\theta = 90^\circ\),
en dit is precies de stelling van Thales.
Zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Middelpun ... mtrekshoek

JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

Re: Cirkel en raaklijn

Bericht door JackMol » 08 jan 2020, 01:09

Ontzettend informatieve reactie. Enorm bedankt!

Plaats reactie