meetkundige rij

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
JackMol
Vast lid
Vast lid
Berichten: 84
Lid geworden op: 06 jun 2018, 21:01

meetkundige rij

Bericht door JackMol » 14 jan 2020, 20:04

https://snipboard.io/lqyTsB.jpg

Maar q is toch constant? hoezo spreekt men hier over q^n+1?

Alvast bedankt

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: meetkundige rij

Bericht door arie » 14 jan 2020, 20:55

Noem S de som van \(a_1\) t/m \(a_n\):
\(S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n\)
ofwel:
\(S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n-1}\)

Vermenigvuldig links en rechts met q:
\(S\cdot q = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + ... + a_1q^n\)

Dan is
\(S-Sq = (a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n-1})-(a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + ... + a_1q^n)\)
De gelijke termen vallen tegen elkaar weg, we houden over:
\(S-Sq = a_1 - a_1q^n\)
ofwel
\(S(1-q) = a_1(1 - q^n)\)
ofwel
\(S = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\)

Zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Meetkundige_rij

Jouw formule klopt dus niet...


Voorbeeld
\(a_1 = 4, q=3\) en \(n=5\), dan is
\(S = 4 + 4\cdot 3 + 4\cdot 9 + 4 \cdot 27 + 4\cdot 81 = 484\)
en dit is gelijk aan
\(S = 4 \cdot \frac{1-3^5}{1-3} = 484\)

Plaats reactie