Wiskundeforum

https://snipboard.io/lqyTsB.jpg

Maar q is toch constant? hoezo spreekt men hier over q^n+1?

Alvast bedankt

Noem S de som van \(a_1\) t/m \(a_n\):
\(S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ... + a_n\)
ofwel:
\(S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n-1}\)

Vermenigvuldig links en rechts met q:
\(S\cdot q = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + ... + a_1q^n\)

Dan is
\(S-Sq = (a_1 + a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + ... + a_1q^{n-1})-(a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + a_1q^4 + ... + a_1q^n)\)
De gelijke termen vallen tegen elkaar weg, we houden over:
\(S-Sq = a_1 - a_1q^n\)
ofwel
\(S(1-q) = a_1(1 - q^n)\)
ofwel
\(S = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\)

Zie ook https://nl.wikipedia.org/wiki/Meetkundige_rij

Jouw formule klopt dus niet...


Voorbeeld
\(a_1 = 4, q=3\) en \(n=5\), dan is
\(S = 4 + 4\cdot 3 + 4\cdot 9 + 4 \cdot 27 + 4\cdot 81 = 484\)
en dit is gelijk aan
\(S = 4 \cdot \frac{1-3^5}{1-3} = 484\)