Volume van een voorwerp

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
gjvv75
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 06 sep 2017, 07:25

Volume van een voorwerp

Bericht door gjvv75 » 29 apr 2020, 13:30

Ik wil een volume van een voorwerp bereken.
Het voorwerp is driehoekig (rechte driehoek) van vorm en de hoogte gaat van 6 cm naar 0 cm.
In de bijlage een schets.
https://drive.google.com/open?id=1VFLc4 ... Se684mdYaE

Is het volume überhaupt te berekenen?
Zo ja, hoe?

Groeten,

Gert-Jan

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Volume van een voorwerp

Bericht door arie » 29 apr 2020, 20:40

Plaats je driehoek in een assenstelsel met de rechte hoek in de oorsprong,
de lange zijde op de x-as (die loopt dus van 0 tot 100)
de korte zijde op de y-as (die loopt van 0 tot 60).
De z-as levert dan de dikte van de driehoek.
Als deze dikte geleidelijk afneemt van 6 tot nul als we een verticale lijn (dus parallel aan de y-as) van x=0 tot x=100 bewegen, dan is de dikte alleen afhankelijk van x:
dikte = z(x) = 6 - (6/100)*x
(voor x=0 is z(x) = 6; voor x=100 is z(x) = 0)

De y-waarde is ook een functie van x:
y(x) = 60 - (60/100)*x
(voor x=0 is y(x) = 60; voor x=100 is y(x) = 0)

Het volume wordt dan gegeven door de dubbele integraal:

\(\displaystyle \int_{x=0}^{100} \int_{y=0}^{60-(60/100)x} (6 - (6/100)x) \; dy \; dx\)

Weet je hoe je de waarde hiervan kan bepalen?

gjvv75
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 06 sep 2017, 07:25

Re: Volume van een voorwerp

Bericht door gjvv75 » 07 mei 2020, 07:04

arie schreef:
29 apr 2020, 20:40
Plaats je driehoek in een assenstelsel met de rechte hoek in de oorsprong,
de lange zijde op de x-as (die loopt dus van 0 tot 100)
de korte zijde op de y-as (die loopt van 0 tot 60).
De z-as levert dan de dikte van de driehoek.
Als deze dikte geleidelijk afneemt van 6 tot nul als we een verticale lijn (dus parallel aan de y-as) van x=0 tot x=100 bewegen, dan is de dikte alleen afhankelijk van x:
dikte = z(x) = 6 - (6/100)*x
(voor x=0 is z(x) = 6; voor x=100 is z(x) = 0)

De y-waarde is ook een functie van x:
y(x) = 60 - (60/100)*x
(voor x=0 is y(x) = 60; voor x=100 is y(x) = 0)

Het volume wordt dan gegeven door de dubbele integraal:

\(\displaystyle \int_{x=0}^{100} \int_{y=0}^{60-(60/100)x} (6 - (6/100)x) \; dy \; dx\)

Weet je hoe je de waarde hiervan kan bepalen?
Hallo Arie,

Het is voor mij alweer een tijdje geleden dat ik nog studeerde. Ook toen heb ik niet veel met integralen gewerkt.

Ik werk veel met Excel, en het vraagstuk is onderdeel van een groter geheel.
Het liefst zou ik een berekening zien, waarin ik de variabelen in kan vullen.

Dus als je mij hierbij kan helpen dan graag.

Groeten, Gert-Jan

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Volume van een voorwerp

Bericht door arie » 07 mei 2020, 08:49

\(\displaystyle \int_{x=0}^{100} \int_{y=0}^{60-(60/100)x} (6 - (6/100)x) \; dy \; dx\)

De 0 .. 100 correspondeert met de breedte (basis) van je driehoek (in x-richting),
de 0 .. 60-(60/100)*x met de hoogte:
- als x=0 dan is y=60 = de hoogte van je driehoek (in y-richting)
- als we x naar rechts bewegen, dan neemt de hoogt geleidelijk af tot nul bij x=100
de 6-(6/100)*x is de dikte (in z-richting).

We integreren van binnen naar buiten, dus eerst naar y:

\(\displaystyle \int_{x=0}^{100} \left[ (6 - (6/100)x)\cdot y \right]_{y=0}^{60-(60/100)x} \; dx\)

\(= \displaystyle \int_{x=0}^{100} (6 - (6/100)x)\cdot (60-(60/100)x) \; dx\)

\(= \displaystyle \int_{x=0}^{100} \frac{6\cdot60}{100^2}x^2 - \frac{6+60}{100}x + 6\cdot 60 \; dx\)

\(= \left[ \frac{6\cdot60}{3 \cdot 100^2}x^3 - \frac{6\cdot 60+60\cdot 6}{2 \cdot 100}x^2 + 6\cdot 60\cdot x \right]_{x=0}^{100}\)

De 3 en de 2 die in de noemers verschijnen zijn constanten die volgens de integratieregels moeten worden toegevoegd (= de nieuwe machten van de bijbehorende x). Die zijn dus onafhankelijk van de afmetingen van je driehoek.

\(= \frac{6\cdot60}{3 \cdot 100^2}\cdot 100^3 - \frac{6\cdot 60+60\cdot 6}{2 \cdot 100}\cdot 100^2 + 6\cdot 60\cdot 100\)

\(= \frac{6\cdot60}{3 }\cdot 100 - 6\cdot 60 \cdot 100 + 6\cdot 60\cdot 100\)

\(= \frac{6\cdot60}{3 }\cdot 100 \)

\(= \frac{1}{3} \cdot 6\cdot 60 \cdot 100 \)

\(= 12000 \; \text{cm}^3\)


En in het algemeen voor dit soort driehoeken:

\(\text{Volume} = \frac{1}{3}\times \text{dikte}\times \text{breedte} \times\text{lengte}\)

gjvv75
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 7
Lid geworden op: 06 sep 2017, 07:25

Re: Volume van een voorwerp

Bericht door gjvv75 » 07 mei 2020, 11:51



En in het algemeen voor dit soort driehoeken:

\(\text{Volume} = \frac{1}{3}\times \text{dikte}\times \text{breedte} \times\text{lengte}\)
Bedankt voor de uitgebreide uitleg!
Als je dat laatste als eerste genoemd had, was het gelijk al klaar :wink: :D

Ik had het object ook al getekend in een frame, met een kopie er gespiegeld bovenop. Dan had ik beide korte zijdes gelijk aan 6 cm hoogte, en een lange zijde 6 cm hoogte.
Dan had de andere lange zijde nog steeds een hoogte 0 over de gehele lengte, en in het midden een hoogte (?).
Ik had ook niet verwacht dat in de overgebleven "ruimte" nog een 3e vorm zou passen, zoals uit de berekening nu blijkt.

Ik kan iig nu verder, bedankt!

Plaats reactie