Ontbrekende getallen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Ontbrekende getallen

Bericht door Patrick1960 » 10 nov 2020, 12:22

Iemand die me kan helpen bij het zoeken van de ontbrekende getallen en de logica erachter?

.........................14.....................

................105..............210........

..........2226.......................5908

..........?.............+.....................?...........=......?......



Alvast bedankt!

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Ontbrekende getallen

Bericht door Patrick1960 » 10 nov 2020, 16:12

kan dit iets met priemgetallen te maken hebben?
14= 2x7
105=3x5x7
210=2x3x5x7
2226=2x3x7x53
5908=2x2x7x211
Zijn dit niet allemaal priemgetallen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Ontbrekende getallen

Bericht door arie » 11 nov 2020, 12:32

Een mogelijke oplossing:

Eerst de rechter tak:

Code: Selecteer alles

  (14+1)*1 * 14 =   15*1 * 14 = 210
 (210+1)*2 * 14 =  211*2 * 14 = 5908
(5908+1)*3 * 14 = 5909*3 * 14 = 248178
dan de linker tak:

Code: Selecteer alles

(1/2) *   (14+1)*1 * 14 = (1/2) *   15*1 * 14 = 105
(3/4) *  (105+1)*2 * 14 = (3/4) *  106*2 * 14 = 2226
(5/6) * (2226+1)*3 * 14 = (5/6) * 2227*3 * 14 = 77945
En dat zou dan geven:
77945 + 248178 = 326123

Heb je wellicht meer gegevens om te kijken of dit het antwoord is dat ze bedoelen?

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Ontbrekende getallen

Bericht door Patrick1960 » 11 nov 2020, 16:04

Die heb ik idd en de oplossing is correct.
Heeft deze bewerking een naam!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3571
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Ontbrekende getallen

Bericht door arie » 15 nov 2020, 23:50

Deze functie heeft geen eigen naam, maar is hierboven gegeven als een recurrente betrekking, zie bijvoorbeeld
https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentievergelijking.

Zo hebben we hierboven voor het rechter gedeelte:
\(a_0 = 14\)
en voor \(n \ge 1\):
\(a_n = (a_{n-1}+1)\cdot n \cdot 14 \)
ofwel
\(a_n = 14n\cdot a_{n-1}+ 14n\)
In dit geval hebben we steeds 1 voorgaande waarde (\(= a_{n-1}\)) nodig om de huidige waarde (\(= a_n\)) te kunnen bepalen.

Hier een aantal waarden:
a(0) = 14
a(1) = 210
a(2) = 5908
a(3) = 248178
a(4) = 13898024
a(5) = 972861750
a(6) = 81720387084
a(7) = 8008597934330
a(8) = 896962968645072
a(9) = 113017334049279198
a(10) = 15822426766899087860

Voor sommige recurrente betrekkingen kunnen we een directe functie van n vinden (zonder voorgaande waarden te moeten berekenen), maar lang niet voor allemaal.

In dit geval kom ik uit op

\(a(n) = n! \cdot 14^n \cdot \left( 14 + \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i!\cdot 14^i} \right)\)

Maar hier schieten we vooralsnog niet al te veel mee op: in plaats van de recursie moeten we nu een lastige sommatie gaan uitrekenen.
We kunnen deze formule wel benaderen doordat die sommatie convergeert naar 1.07404143071629585692437...:

\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot n! \cdot 14^n \)

a(n) gaat dus richting een vrij gangbare functie zonder specifieke naam.

Ter controle: hierboven zagen we al:
\(a_{10} = 15822426766899087860\)
met de laatste benaderingsformule vinden we (direct, zonder alle voorgaande waarden te bepalen):
\(a_{10} \approx 15822426766899087861.0065\)
Dit is een zeer kleine relatieve fout.

Voor n = 1000 vinden we zo:
\(a_{1000} \approx 8.1453472726409\cdot 10^{3714}\)
(een in alle cijfers correcte benadering als we de werkelijke waarde door de computer laten uitrekenen)

Mocht je het voor grote n ook nog lastig vinden om n! te bepalen, dan kan je ook die nog benaderen, zie bijvoorbeeld:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Stirling

\(n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n\)

Hiermee wordt het mogelijk om \(a_n\) eenvoudiger voor nog veel grotere waarden van n te bepalen:

\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n \cdot 14^n \)

ofwel:

\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot \sqrt{2\pi n}\left(\frac{14n}{e} \right)^n \)

Hiermee vinden we bijvoorbeeld:
\(a(10^9) \approx 7.117145 \cdot 10^{9711833559} \)
een getal van 9711833559+1 cijfers.

Patrick1960
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 17
Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07

Re: Ontbrekende getallen

Bericht door Patrick1960 » 24 nov 2020, 12:23

Hartelijk dank voor deze verhelderende uitleg.

Plaats reactie