Deze functie heeft geen eigen naam, maar is hierboven gegeven als een recurrente betrekking, zie bijvoorbeeld
https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentievergelijking.
Zo hebben we hierboven voor het rechter gedeelte:
\(a_0 = 14\)
en voor
\(n \ge 1\):
\(a_n = (a_{n-1}+1)\cdot n \cdot 14 \)
ofwel
\(a_n = 14n\cdot a_{n-1}+ 14n\)
In dit geval hebben we steeds 1 voorgaande waarde (
\(= a_{n-1}\)) nodig om de huidige waarde (
\(= a_n\)) te kunnen bepalen.
Hier een aantal waarden:
a(0) = 14
a(1) = 210
a(2) = 5908
a(3) = 248178
a(4) = 13898024
a(5) = 972861750
a(6) = 81720387084
a(7) = 8008597934330
a(8) = 896962968645072
a(9) = 113017334049279198
a(10) = 15822426766899087860
Voor sommige recurrente betrekkingen kunnen we een directe functie van n vinden (zonder voorgaande waarden te moeten berekenen), maar lang niet voor allemaal.
In dit geval kom ik uit op
\(a(n) = n! \cdot 14^n \cdot \left( 14 + \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{i!\cdot 14^i} \right)\)
Maar hier schieten we vooralsnog niet al te veel mee op: in plaats van de recursie moeten we nu een lastige sommatie gaan uitrekenen.
We kunnen deze formule wel benaderen doordat die sommatie convergeert naar 1.07404143071629585692437...:
\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot n! \cdot 14^n \)
a(n) gaat dus richting een vrij gangbare functie zonder specifieke naam.
Ter controle: hierboven zagen we al:
\(a_{10} = 15822426766899087860\)
met de laatste benaderingsformule vinden we (direct, zonder alle voorgaande waarden te bepalen):
\(a_{10} \approx 15822426766899087861.0065\)
Dit is een zeer kleine relatieve fout.
Voor n = 1000 vinden we zo:
\(a_{1000} \approx 8.1453472726409\cdot 10^{3714}\)
(een in alle cijfers correcte benadering als we de werkelijke waarde door de computer laten uitrekenen)
Mocht je het voor grote n ook nog lastig vinden om n! te bepalen, dan kan je ook die nog benaderen, zie bijvoorbeeld:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Formule_van_Stirling
\(n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n\)
Hiermee wordt het mogelijk om
\(a_n\) eenvoudiger voor nog veel grotere waarden van n te bepalen:
\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e} \right)^n \cdot 14^n \)
ofwel:
\(a(n) \approx 15.07404143071629585692437 \cdot \sqrt{2\pi n}\left(\frac{14n}{e} \right)^n \)
Hiermee vinden we bijvoorbeeld:
\(a(10^9) \approx 7.117145 \cdot 10^{9711833559} \)
een getal van 9711833559+1 cijfers.