Wiske eet tiktak's

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Bartje69
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 13 jan 2021, 16:10

Wiske eet tiktak's

Bericht door Bartje69 » 13 jan 2021, 16:12

De snuggere snoeper Wiske heeft twee snoepdoosjes in haar handtas. Elke keer wanneer ze een snoepje neemt, kiest ze willekeurig een doosje.
Na een tijdje ontdekt ze dat een van de twee doosjes leeg is.
Wat is de kans dat er op dat moment nog exact k snoepjes in het andere doosje zitten,
wetende dat elk doosje oorspronkelijk n (>k) snoepjes bevatte?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3569
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Wiske eet tiktak's

Bericht door arie » 22 jan 2021, 23:33

.
Wiskundige Wiske en de opmerkelijke oplossing
Stel we starten met met 2 doosjes x en y, elk met daarin n=5 snoepjes.
We gaan dit weergeven in een rooster, met op de x-as het aantal snoepjes in doosje x,
en op de y-as het aantal snoepjes in doosje y:

Afbeelding

Het startpunt is punt A = (5, 5), want bij aanvang zitten er in beide doosjes n=5 snoepjes.

Nemen we een snoepje uit doosje x, dan gaan we in het rooster 1 stap naar links (de x-coordinaat is dan 1 minder),
nemen we een snoepje uit doosje y, dan gaan we in het rooster 1 stap naar beneden (de y-coordinaat is dan 1 minder).

Als we zo uiteindelijk op de x-as belanden, dan is doosje y leeg (y=0), en geeft de x-coordinaat het aantal overgebleven snoepjes (= k uit de probleemstellling). Als we op de y-as belanden, is doosje x leeg (x=0) en is k = de y-coordinaat waar we dan zijn.
Dit zijn de 2 keer 5 = 10 rode punten in de grafiek.

We kijken nu eerst naar de punten P, Q, R, S en T, net voordat we de x-as bereiken,
en de punten P, U, V, W en Z, net voordat we de y-as bereiken.

In blauw is 1 van de vele mogelijke routes getekend.
De kans dat we deze route kiezen = de kans dat we eerst vanuit A naar links gaan, dan vanuit punt B naar beneden, dan vanuit C naar links, en vanuit D, E en tenslotte F naar beneden.
In elk van deze 6 punten hebben we steeds een kans van 1/2 dat we vanuit dat punt de aangegeven blauwe richting volgen en niet de andere (=verkeerde) afslag nemen.
Via deze 6 stappen belanden we in R, dat zijn:
- 4 stappen naar beneden = n - 1 stappen
- 2 stappen naar links = n-k stappen
De kans op deze route van A naar R is dus \(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1+n-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)

In feite heeft elke willekeurige route van A naar R een kans van \(\left(\frac{1}{2}\right)^6\) om gekozen te worden, immers: we moeten van A naar R altijd in totaal 4 stappen naar beneden en 2 stappen naar links.

Omdat er \({6 \choose 2}\) mogelijke volgordes zijn van 6 stappen met daarvan 4 keer naar beneden en 2 keer naar links, zijn er ook \({6 \choose 2}\) mogelijke routes van A naar R.

De kans om vanuit A in R te belanden is dus \({6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6\)

En omdat de kans 1/2 is om vanuit R naar eindpunt (3, 0) te gaan, is de totale kans om in eindpunt (3, 0) te belanden
dus \(\frac{1}{2}\cdot {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7\)
Dit is de kans dat doosje y leeg is, en doosje x nog k=3 snoepjes bevat.

Wegens symmetrie geldt ditzelfde voor de routes van A naar V en eindigen in punt (0, 3), dus doosje x leeg en doosje y bevat k=3 snoepjes.

De kans op k=3 snoepjes is dus \(2\cdot {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6\)


Deze afleiding kan je ook in het algemeen maken, dus voor
n-1 keer naar beneden en
n-k keer naar links.
Hiervoor zijn \({2n-1-k \choose n-k}\) mogelijke routes, elk met een kans van \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)
De 2 vermenigvuldigingen, eerst met 1/2 om het eindpunt op de as te bereiken, dan met 2 omdat er 2 assen zijn, vallen tegen elkaar weg.

De gevraagde kans is dus \({2n-1-k \choose n-k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)


PS:
Ter illustratie zijn hier nog de kansen voor bovenstaand voorbeeld met n=5:

Code: Selecteer alles

P(k=1) = 35/128 = 0.2734375
P(k=2) = 35/128 = 0.2734375
P(k=3) = 15/64  = 0.234375
P(k=4) = 5/32   = 0.15625
P(k=5) = 1/16   = 0.0625

Plaats reactie