.
Wiskundige Wiske en de opmerkelijke oplossing
Stel we starten met met 2 doosjes x en y, elk met daarin n=5 snoepjes.
We gaan dit weergeven in een rooster, met op de x-as het aantal snoepjes in doosje x,
en op de y-as het aantal snoepjes in doosje y:
Het startpunt is punt A = (5, 5), want bij aanvang zitten er in beide doosjes n=5 snoepjes.
Nemen we een snoepje uit doosje x, dan gaan we in het rooster 1 stap naar links (de x-coordinaat is dan 1 minder),
nemen we een snoepje uit doosje y, dan gaan we in het rooster 1 stap naar beneden (de y-coordinaat is dan 1 minder).
Als we zo uiteindelijk op de x-as belanden, dan is doosje y leeg (y=0), en geeft de x-coordinaat het aantal overgebleven snoepjes (= k uit de probleemstellling). Als we op de y-as belanden, is doosje x leeg (x=0) en is k = de y-coordinaat waar we dan zijn.
Dit zijn de 2 keer 5 = 10 rode punten in de grafiek.
We kijken nu eerst naar de punten P, Q, R, S en T, net voordat we de x-as bereiken,
en de punten P, U, V, W en Z, net voordat we de y-as bereiken.
In blauw is 1 van de vele mogelijke routes getekend.
De kans dat we deze route kiezen = de kans dat we eerst vanuit A naar links gaan, dan vanuit punt B naar beneden, dan vanuit C naar links, en vanuit D, E en tenslotte F naar beneden.
In elk van deze 6 punten hebben we steeds een kans van 1/2 dat we vanuit dat punt de aangegeven blauwe richting volgen en niet de andere (=verkeerde) afslag nemen.
Via deze 6 stappen belanden we in R, dat zijn:
- 4 stappen naar beneden = n - 1 stappen
- 2 stappen naar links = n-k stappen
De kans op deze route van A naar R is dus
\(\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1+n-k} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)
In feite heeft elke willekeurige route van A naar R een kans van
\(\left(\frac{1}{2}\right)^6\) om gekozen te worden, immers: we moeten van A naar R altijd in totaal 4 stappen naar beneden en 2 stappen naar links.
Omdat er
\({6 \choose 2}\) mogelijke volgordes zijn van 6 stappen met daarvan 4 keer naar beneden en 2 keer naar links, zijn er ook
\({6 \choose 2}\) mogelijke routes van A naar R.
De kans om vanuit A in R te belanden is dus
\({6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
En omdat de kans 1/2 is om vanuit R naar eindpunt (3, 0) te gaan, is de totale kans om in eindpunt (3, 0) te belanden
dus
\(\frac{1}{2}\cdot {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6 = {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7\)
Dit is de kans dat doosje y leeg is, en doosje x nog k=3 snoepjes bevat.
Wegens symmetrie geldt ditzelfde voor de routes van A naar V en eindigen in punt (0, 3), dus doosje x leeg en doosje y bevat k=3 snoepjes.
De kans op k=3 snoepjes is dus
\(2\cdot {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = {6 \choose 2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^6\)
Deze afleiding kan je ook in het algemeen maken, dus voor
n-1 keer naar beneden en
n-k keer naar links.
Hiervoor zijn
\({2n-1-k \choose n-k}\) mogelijke routes, elk met een kans van
\(\left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)
De 2 vermenigvuldigingen, eerst met 1/2 om het eindpunt op de as te bereiken, dan met 2 omdat er 2 assen zijn, vallen tegen elkaar weg.
De gevraagde kans is dus
\({2n-1-k \choose n-k}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n-1-k}\)
PS:
Ter illustratie zijn hier nog de kansen voor bovenstaand voorbeeld met n=5:
Code: Selecteer alles
P(k=1) = 35/128 = 0.2734375
P(k=2) = 35/128 = 0.2734375
P(k=3) = 15/64 = 0.234375
P(k=4) = 5/32 = 0.15625
P(k=5) = 1/16 = 0.0625