Wiskundeforum

Wiske neemt deel aan de tv-quiz Switch en haalt de finale. In deze finale bevindt ze zich op plaats 5 in een
rangschikking en moet ze door vragen te beantwoorden op plaats 1 geraken. Als ze op een vraag correct
antwoordt, stijgt ze een plaats in de rangschikking (bijvoorbeeld van 5 naar 4, of van 3 naar 2), maar als
ze een vraag fout beantwoordt, moet ze helemaal terug naar plaats 5. Op plaats 5 voelt Wiske zich nog
gemakkelijk, en heeft ze 80% kans om een vraag juist te beantwoorden, maar naarmate haar positie in de
rangschikking toeneemt, stijgt ook de spanning. Op plaats 4 heeft ze nog maar 60% kans om een vraag juist
te beantwoorden, op plaats 3 is dit 40% en op plaats 2 20%.
Hoeveel vragen moet Wiske gemiddeld beantwoorden om van plaats 5 naar plaats 1 te geraken?
Wie dit vindt is een genie!!!!

Hierboven een plaatje met de 5 plaatsen (rood) en de kansen om van elke plaats door te gaan (bovenste pijlen) of terug naar plaats 5 te gaan (onderste pijlen).

Noem \(n\) het verwachte aantal vragen dat Wiske nodig heeft om van plaats 5 in plaats 1 te geraken.
We onderscheiden alle 5 mogelijke gebeurtenissen: Wiske heeft alle 4 de vragen goed, heeft vraag 1 fout, heeft vraag 2 fout, heeft vraag 3 fout of heeft vraag 4 fout.
Voor elk van deze gebeurtenissen berekenen we de kans op die gebeurtenis, en vermenigvuldigen die kans met het aantal vragen dat in dat geval nodig is om plaats 1 te bereiken.
Dan is \(n\) = de som van deze vijf (kans * aantal_vragen_nodig) producten.

[1] de kans dat Wiske alle vragen in 1 keer goed heeft is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{5}= \frac{24}{625}\), ze heeft dan 4 vragen beantwoord.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{24}{625}\cdot 4\)

[2] de kans dat Wiske de eerste vraag fout heeft is \(\frac{1}{5}\), ze heeft dan 1 vraag beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+1)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{1}{5}\cdot (n+1)\)

[3] de kans dat Wiske de eerste vraag goed heeft en de tweede fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{5}=\frac{8}{25}\), ze heeft dan 2 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+2)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{8}{25}\cdot (n+2)\)

[4] de kans dat Wiske de eerste en tweede vraag goed heeft en de derde fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{36}{125}\), ze heeft dan 3 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+3)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{36}{125}\cdot (n+3)\)

[5] de kans dat Wiske de eerste, tweede en derde vraag goed heeft en de vierde fout is \(\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{96}{625}\), ze heeft dan 4 vragen beantwoord, belandt weer op plaats 5 (waarna het \(n\) vragen duurt totdat ze klaar is). In dit geval moet ze dus \((n+4)\) vragen beantwoorden.
Dit levert een bijdrage (kans*aantal) aan \(n\) van \(\frac{96}{625}\cdot (n+4)\)


Uit al het bovenstaande volgt:

\(n=\frac{24}{625}\cdot 4+\frac{1}{5}\cdot (n+1)+\frac{8}{25}\cdot (n+2)+\frac{36}{125}\cdot (n+3)+\frac{96}{625}\cdot (n+4)\)

ofwel (vermenigvuldig links en rechts met 625):

\(625n=24\cdot 4+125(n+1)+200(n+2)+180(n+3)+96(n+4)\)

ofwel

\(625n = 601n + 1545\)

waardoor

\(n = \frac{1545}{24} = \frac{515}{8} = 64.375\)

Wiske zal dus naar verwachting 64.375 vragen moeten beantwoorden om van plaats 5 naar plaats 1 te geraken.