Cirkel

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Vsotvep
Vast lid
Vast lid
Berichten: 26
Lid geworden op: 03 mar 2009, 18:07
Locatie: Groningen (Provincie)

Cirkel

Bericht door Vsotvep » 10 mar 2009, 20:55

Leuk probleempje:

Teken een cirkel en zet een punt op de lijn. Tel nu het aantal vlakken. Vrij simpel: 1 vlak.
Teken nu een tweede punt en verbind beide punten met elkaar. De cirkel wordt hierdoor dus in twee vakken verdeeld.
Teken een derde punt, verbind elk punt met de anderen en ontdek dat er nu vier vlakken in de cirkel zijn ontstaan.
Punt nummer 4, alles verbinden en er zijn acht vlakken.
Ten slotte punt nummer 5, alles verbinden en alle vlakken tellen. Dit zijn er 16.
Oftewel:
punten - vlakken
1 - 1
2 - 2
3 - 4
4 - 8
5 - 16
Nu de grote vraag: Hoeveel vlakken ontstaan er bij het tekenen en verbinden van het zesde punt? Nog gekker: En bij een zevende?

tsagld
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 341
Lid geworden op: 23 mar 2009, 12:07
Contacteer:

Re: Cirkel

Bericht door tsagld » 23 mar 2009, 12:34

Tja, ik ben ook geen groot wiskundige, maar volgens mij worden alle vlakken in tweeën gedeeld als je alle punten met elkaar verbindt. Het aantal vlakken verdubbelt dus steeds.

Vsotvep
Vast lid
Vast lid
Berichten: 26
Lid geworden op: 03 mar 2009, 18:07
Locatie: Groningen (Provincie)

Re: Cirkel

Bericht door Vsotvep » 30 mar 2009, 23:36

Dat zou je denken ja, toch zal blijken dat bij de zesde punt 35 vlakken ontstaan, niet 36, zoals je zou verwachten.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3558
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Cirkel

Bericht door arie » 31 mar 2009, 08:45

Mooi probleem!

Noem V(n) het maximale aantal vlakken dat bij n punten kan ontstaan, dan kunnen we nu de juiste formule voor V(n) afleiden.

Als we de figuur die bestaat uit n-1 punten uitbreiden met punt n, dan moeten we n-1 lijnen tekenen. Een lijn door een vlak betekent dat dat vlak in tweeen gesplitst wordt, per lijn moeten we dus 1 bij het aantal vlakken optellen.
Indien deze lijn bovendien m andere lijnen kruist, loopt de lijn dus door m+1 vlakken en komen er m+1 vlakken bij.
NOOT: we gaan er van uit dat er maximaal 2 lijnen door 1 snijpunt gaan, gaan er 3 of meer lijnen door 1 snijpunt, dan ontstaan er minder vlakken, en is V(n) niet maximaal.

Nu gaan we de lijnen vanuit punt n toevoegen aan de figuur met n-1 punten, lopend over de cirkel tegen de wijzers van de klok in (dit is de voorkeursrichting van wiskundigen, maar het mag ook de andere kant om):
- de lijn van punt n naar het 1e punt dat we tegenkomen snijdt geen andere lijnen, er komt dan 1 vlak bij
- de lijn van punt n naar het 2e punt snijdt n-3 lijnen: het eerste punt ligt aan de ene kant van deze lijn, n-3 punten liggen aan de andere kant van de lijn, vanuit het eerste punt gaat steeds een lijn naar elk punt aan de andere kant, dit zijn 1x(n-3) lijnen die we snijden en er ontstaan dus 1x(n-3) + 1 nieuwe vlakken.
- de lijn van punt n naar het 3e punt snijdt 2x(n-4) lijnen: de eerste 2 punten liggen aan de ene kant van deze lijn, n-4 punten liggen aan de andere kant van de lijn, vanuit de eerste 2 punten gaat steeds een lijn naar elk punt aan de andere kant, dit zijn 2x(n-4) lijnen die we snijden en er ontstaan dus 2x(n-4) + 1 nieuwe vlakken,
etc
(ga dit zo nodig na voor een concreet voorbeeld: voeg het 7e punt toe aan de figuur met 6 punten die je al hebt).

We vinden dus:





noem m=n-2:









ga nu terug van m naar n:









of vanuit de combinatoriek:



Omdat V(5) = 16 = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 geldt:





Nu kunnen we via inductie afleiden:

Stel dat



dan geldt volgens de formule voor V(n) die we gevonden hadden:









Dus geldt dit voor alle n>=5.
Dit is de uiteindelijke formule voor het maximale aantal vlakken in de cirkel.
Je ziet dat dit in de driehoek van Pascal gelijk is aan de som van de eerste 5 getallen van de regel boven regel n. In feite geldt dit ook voor n<5 als je bedenkt dat nCk=0 als k>n.
Vsotvep schreef:Dat zou je denken ja, toch zal blijken dat bij de zesde punt 35 vlakken ontstaan, niet 36, zoals je zou verwachten.
Er ontstaan 31 vlakken ipv de 32 die je zou verwachten:







etc.

Vsotvep
Vast lid
Vast lid
Berichten: 26
Lid geworden op: 03 mar 2009, 18:07
Locatie: Groningen (Provincie)

Re: Cirkel

Bericht door Vsotvep » 05 apr 2009, 12:44

Uhh.... Dat bedoelde ik :lol: 31.

Plaats reactie