16 getallen probleem

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Heado
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 14 okt 2009, 12:31

16 getallen probleem

Bericht door Heado » 14 okt 2009, 12:49

het volgende probleem:

ik heb een veld met 16 in te vullen vakken (de x' en) dat er zo uit ziet:

O X O X O
X X X X X
O X O X O
X X X X X
O X O X O

hierin moet ik op de x'en de getallen 1 t/m 16 invullen, (allen 1x gebruiken)
zodat de som van de 5 getallen die horizontaal en vertikaal in een rij staan hetzelfde is.
(dus ik krijg 4 sommen van 5 getallen die dezelfde uitkomst geven)

De vraag is hoeveel oplossingen zijn er en welke zijn dit?

Ik kan door proberen een mogelijkheid vinden, dan kan ik uiteraard de getallen in de buitenste vakken omwisselen (bijv 1e en 5e getal in bovenste rij kan ik vrij omwisselen, zo ook in alle andere rijen, en alle commbinaties hiervan..) en heel veel mogelijkheden creeren, die dus wel steeds dezelfde uikomst geven als ik de rij van 5 optel.

Maar wat is de manier om voor dit probleem alle oplossingen te geven en zeker te zijn dat je er geen vergeet???
(hierbij ben ik met name op zoek naar alle oplossingen met verschillende getallen op de kruispunten en met verschillende waarden als ik ze alle 5 optel (als die er meerdere zijn))

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3515
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 16 getallen probleem

Bericht door arie » 14 okt 2009, 14:57

Je wilt dat de 4 sommen (van de 2 rijen en 2 kolommen met elk 5 getallen) gelijk zijn.
Deze 4 sommen bij elkaar zijn even groot als de som van alle getallen 1..16 + de som van de 4 getallen op de kruispunten (want de kruispunten tellen dubbel mee in de totale optelling).
De som van alle getallen 1..16 = 136
De som van de getallen op de kruispunten is minimaal 1+2+3+4 = 10
en maximaal 13+14+15+16 = 58.
De totale som is dan minimaal 136+10=146 en maximaal 136+58 = 194.
Omdat deze som tevens gelijk is aan de som van 4 dezelfde waarden (nl. die van de 2 rijen en 2 kolommen), liggen deze laatste 4 tussen 146/4 = 36.5 en 194/4 = 48.5.
Nu moet voor deze som wel gelden dat hij geheel is (want je telt alleen gehele getallen op), dus deze kan alleen varieren van 37 t/m 48.
En omdat de som van 1..16 = 136 deelbaar is door 4, zal de som van de 4 kruispunten dit ook moeten zijn.

Als de 4 waarden a<b<c<d op de kruispunten staan, hoef je deze vanwege de symmetrie alleen te onderzoeken voor de vormen:

ab
cd

ab
dc

ac
db

(andere vormen kan je door draaiing of spiegeling hiertoe herleiden, ga dit s.v.p. even na)

Als je de waarden op de kruispunten gekozen hebt liggen de rij- en kolom sommen dus vast.

Invulling van de overige 3 waarden per rij en kolom kan vervolgens op 6 mogelijke manieren, het handigste kan je ze op volgorde van grootte zetten.
Per oplossing die je zo vindt zijn er hierdoor alleen al 6^4 = 1296 gelijkwaardige varianten. Het lijkt me wat optimistisch om die allemaal te noteren. ;-)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3515
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: 16 getallen probleem

Bericht door arie » 14 okt 2009, 18:31

PS: als ik met de computer zoek, kom ik uit op de volgende aantallen:

kpsom aantal
12 610
16 1861
20 3691
24 6402
28 8223
32 9412
36 9412
40 8223
44 6402
48 3691
52 1861
56 610

waarbij kpsom=kruispuntsom, aantal = aantal oplossingen voor het totaal van de 3 kruispuntvarianten.
Wil je alle mogelijkheden, moet je dit getal met 8 vermenigvuldigen (4 rotaties met elk 2 spiegelvarianten), en vervolgens met het aantal permutaties van rijen en kolommen = 6^4.
In totaal levert dit een factor 8*6^4 = 10368 varianten voor elke gevonden oplossing.

Een aantal voorbeelden van oplossingen (voor elke kruispuntsom 1):

Code: Selecteer alles

Kruispunten=(1,2,3,6); kruispuntsom=12;  rijsom=kolomsom=37:
.	4	.	5	.
8	1	12	2	14
.	13	.	9	.
7	3	10	6	11
.	16	.	15	.


Kruispunten=(1,2,3,10); kruispuntsom=16;  rijsom=kolomsom=38:
.	4	.	5	.
9	1	11	2	15
.	14	.	8	.
6	3	7	10	12
.	16	.	13	.


Kruispunten=(1,2,3,14); kruispuntsom=20;  rijsom=kolomsom=39:
.	4	.	5	.
11	1	12	2	13
.	15	.	8	.
6	3	7	14	9
.	16	.	10	.


Kruispunten=(1,2,5,16); kruispuntsom=24;  rijsom=kolomsom=40:
.	6	.	3	.
11	1	12	2	14
.	13	.	9	.
4	5	7	16	8
.	15	.	10	.


Kruispunten=(1,2,9,16); kruispuntsom=28;  rijsom=kolomsom=41:
.	4	.	5	.
11	1	13	2	14
.	12	.	8	.
3	9	6	16	7
.	15	.	10	.


Kruispunten=(1,2,13,16); kruispuntsom=32;  rijsom=kolomsom=42:
.	5	.	7	.
10	1	14	2	15
.	11	.	8	.
3	13	4	16	6
.	12	.	9	.


Kruispunten=(1,4,15,16); kruispuntsom=36;  rijsom=kolomsom=43:
.	5	.	6	.
11	1	13	4	14
.	10	.	8	.
2	15	3	16	7
.	12	.	9	.


Kruispunten=(1,8,15,16); kruispuntsom=40;  rijsom=kolomsom=44:
.	3	.	4	.
10	1	12	8	13
.	11	.	7	.
2	15	5	16	6
.	14	.	9	.


Kruispunten=(1,12,15,16); kruispuntsom=44;  rijsom=kolomsom=45:
.	4	.	2	.
9	1	10	12	13
.	11	.	7	.
3	15	5	16	6
.	14	.	8	.


Kruispunten=(3,14,15,16); kruispuntsom=48;  rijsom=kolomsom=46:
.	4	.	1	.
8	3	9	14	12
.	11	.	5	.
2	15	6	16	7
.	13	.	10	.


Kruispunten=(7,14,15,16); kruispuntsom=52;  rijsom=kolomsom=47:
.	1	.	2	.
6	7	8	14	12
.	11	.	5	.
3	15	4	16	9
.	13	.	10	.


Kruispunten=(11,14,15,16); kruispuntsom=56;  rijsom=kolomsom=48:
.	1	.	2	.
6	11	7	14	10
.	8	.	4	.
3	15	5	16	9
.	13	.	12	.

Heado
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 14 okt 2009, 12:31

Re: 16 getallen probleem

Bericht door Heado » 09 nov 2009, 11:11

bedankt nog voor de heldere uitleg en de moeite !

Heado
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 4
Lid geworden op: 14 okt 2009, 12:31

Re: 16 getallen probleem

Bericht door Heado » 19 nov 2009, 12:55

kan ik zonder computergebruik een uitspraak doen over het aantal verschillende mogelijkheden (zonder draaiing of spiegeling) per kpsom ?

hoe kan ik zelf deze aantallen bij iedere kpsom berekenen?

kpsom aantal
12 610
16 1861
....

....
52 1861
56 610

Nick10
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 05 okt 2013, 11:11

Re: 16 getallen probleem

Bericht door Nick10 » 05 okt 2013, 11:17

Dat zou ik ook wel graag willen weten

Plaats reactie