oplossingen in gehele getallen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 20 feb 2010, 22:16

Gegeven is een bepaald positief geheel getal .
Vind nu een Geheel positief getal , zodanig dat

een geheel getal is.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arie » 21 feb 2010, 10:36

Dit is een erg leuk probleem!!

Maar nu de bonusvraag voor gevorderden:

Zelfde sitiatie als van magicsander:
n, s, w gehele getallen,
n>0,
s>0,


Geef aan hoe je voor elke gegeven n nu ALLE mogelijke waarden voor s bepaalt.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 12:47

Willen jullie dat ik hier een oplossing plaats of iedereen zelf laten puzzelen? Als ik post weet ik na respons wel of ik juist zit of niet.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arno » 21 feb 2010, 13:11

Er moet in ieder geval gelden dat s²-4n een kwadraat is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 13:32

Het zou heel mooi zijn als er een elegante, simpele oplossing was. Ik zal uitleggen waarom.

We gaan proberen om het getal in twee factoren(priem of niet priem, in ieder geval twee factoren) te ontbinden. We noemen de som van de factoren s. nu geldt:



dus:





De discriminant(ABC formule) van deze vergelijking is:


,en als deze een geheel getal is dan is de uitkomst voor meteen ook geheel en positief en dan kan je gemakkelijk b vinden.
Op deze manier kun je dus
in priemfactoren ontbinden.
Laatst gewijzigd door magicsander op 21 feb 2010, 16:20, 1 keer totaal gewijzigd.

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arno » 21 feb 2010, 13:34

Denk eens aan pythagoreïsche drietallen.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 13:37





Dit geldt voor alle gehele waarden voor w en voor s. Immers





Dit is altijd waar voor w als geheel getal
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 13:37

@arno
Dat heb ik al gedaan maar ik kwam er niet uit.

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 13:51

Ter verduidelijking van het probleem:
een bepaalde is gegeven(dat is het getal dat je wilt ontbinden).
Er moet een gehele positieve (van som btw.) worden gevonden, zo dat

ook geheel en positief is.

Voorbeeld:


een goede is nu 12 want:

en


En dus ook

is positief en geheel,

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 15:29

Dan is er een beperking aan n, n is oneven of n deelt 4. n=30 kan bijv. niet. D.w.z dat je geen s en w kan vinden zoals gegeven. 30 Splitsen in 2 delers geeft 1 en 30....5 en 6. samen zijn deze getallen telkens oneven. w+s moet even zijn. voor een getal bijv. p geldt dat je er een kwadraat bij optelt en je weer op een kwadraat uit kan komen. als dat niet kan, is het getal p, een priemgetal. vb: p=33. 16 is een kwadraat. tel 33 en 16 bij elkaar op, en je komt weer op een kwadraat, 49. voor 31 is dat niet mogelijk, dus 31 is priem. verder wat je al vond, de delers voor 33 zijn a+4 en a-4. want 4= a=2
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 15:48

voor 30 werkt het wel hoor :D :




En:


en 1 is zeker een positief geheel getal.

De discriminant is dus 1 en dan vinden we met de ABC formule:


OF


oftewel

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arie » 21 feb 2010, 15:49

Hier heb je je oplossing al staan:
magicsander schreef:... we gaan proberen om het getal in twee factoren(priem of niet priem, in ieder geval twee factoren) te ontbinden. We noemen de som van de factoren s. nu geldt:



dus:


Je splitst n in 2 factoren, de ene is a en de andere n/a. Dit lukt alleen met gehele getallen als a een deler is van n (dus n/a ook weer een geheel getal).
En dit geldt dan voor alle delers a van n.

Volledige oplossing:

Gegeven: s, n, geheel, s>0, n>0
noem



waarbij w geheel en w>=0.

Kwadrateer (vergelijk daco hierboven):
s^2 - 4n = w^2
dus
s^2 - w^2 = 4n
(s-w)(s+w) = 4n

Nu moeten we 4n splitsen in 2 factoren, dit kunnen alleen de delers van 4n zijn.
Noem deze k (kleinste) en g (grootste), k <= g = 4n/k, dan krijgen we het stelsel
s-w = k
s+w = g
dus
s = (k+g)/2

Nu is s geheel, dus k+g moet deelbaar zijn door 2, dus:
- k even en g even, of
- k oneven en g oneven.
Maar 2 oneven factoren kan niet want hun product = 4n is even.
Dus k even en g even, waardoor we beide door 2 kunnen delen en we nu alleen nog maar op zoek moeten naar oplossingen voor:

[(s-w)/2]*[(s+w)/2] = n
Splits nu n in twee factoren.
Dit zijn beide weer delers van n: stel d de kleinste en n/d de grootste (d <= n/d)
Dan moeten we het volgende stelsel oplossen:
s/2 - w/2 = d
s/2 + w/2 = n/d

Dus (tel beide vergelijkingen bij elkaar op):
s = n/d + d
waarbij d <= sqrt(n).

En dit is de oplossing die we zochten.

Ter controle:
s^2 - 4n
= (n/d + d)^2 - 4n
= (n/d)^2 + 2n + d^2 - 4n
= (n/d)^2 - 2n + d^2
= (n/d - d)^2
= w^2

Gevolg:
voor alle waarden van n geldt: 1 deelt n, ofwel n=1xn waardoor s=n+1 altijd een oplossing is. Dit is het antwoord op de oorspronkelijke vraagstelling (geef een mogelijkheid voor s).


Voorbeeld:
n=30 kunnen we als volgt splitsen in twee factoren:
1 x 30
2 x 15
3 x 10
5 x 6
waarbij de eerste steeds de kleinste = d, de tweede de grootste = n/d
De 4 mogelijke waarden voor s zijn nu dus:
1+30 = 31
2+15 = 17
3+10 = 13
5+6 = 11

Om deze methode te gebruiken om een getal n te ontbinden in factoren lijkt me wat minder efficient: je moet alle delers vinden van een getal n, dus n door alle getallen t/m wortel(n) delen. Maar dan kan je beter kijken door welke priemgetallen p n deelbaar is, vervolgens door welke priemgetallen n/p[1] deelbaar is, etc.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 15:57

He ja je hebt gelijk... in jou verg. wel en daar hadden we het over. Ik dacht het kan niet omdat je voor 30 zelf, in jou verg. zou n dan 7.5 zijn. Je kan bij 30 geen geheel kwadraat optellen en op een geheel kwadraat uitkomen. Daar doelde ik op. wel een kwadraat van een getal dat eindigt op ".5", bijv. en
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 16:15

@arno
Volgens mij heb ik het tot nu toe niet zo goed uitgelegd.
Mijn methode zou helemaal niet minder efficient zijn.

Voorbeeld
we gaan ontbinden in 2 factoren


Ik moet een geheel positief getal vinden op zo'n manier dat:

ook positief en geheel is.
...
*deel van de methode die nog uitgevonden moet worden*
...
Dus een goede blijkt dus 12 te zijn.
We hebben dus nu het stelsel:


die kunnen we gemakkelijk oplossen(met de ABC formule bijv.):

of

maar dat is eigenlijk allebij hetzelfde

dus

==>ontbonden

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 16:29

Bedoelt Arie niet getallen met meer dan 2 delers. bijv. 40. ontbonden in priemfactoren . 4 delers, met je methode vindt je er 2 per keer. Daarna moet je nog nagaan of, als je bijv. delers 5 en 8 vindt of beiden nog delers hebben. Voor kleine getallen is dat natuurlijk eenvoudiger dan grote getallen.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Plaats reactie