oplossingen in gehele getallen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arie » 21 feb 2010, 17:38

magicsander schreef:... n=35, ...Ik moet een geheel positief getal vinden op zo'n manier dat:

ook positief en geheel is.
...
*deel van de methode die nog uitgevonden moet worden*
...
Dus een goede blijkt dus 12 te zijn.
Zodra je de methode uitgevonden hebt om direct vanuit n een bijbehorende s (en dan niet s=n+1) te bepalen is jouw manier een grote doorbraak in de wiskunde.

Vooralsnog lijkt het me echter veel moeite kosten om een geschikte waarde voor s te vinden.
Als we s in dit voorbeeld aflopen van 1 t/m 12 moet je 12 waarden testen.
Als je stelt dat de 2 factoren allebei oneven zijn (dat moet wel in dit voorbeeld: n=35 is oneven), zou het voldoende zijn om alleen even waarden voor s te testen, maar dit zijn er nog 6.

Als je alle priemgetallen t/m wortel(35) wilt testen zijn dit 2, 3 en 5. Je hoeft op de bekende manier dan dus maar 3 delingen uit te voeren (als 35 niet door 1 van deze 3 priemgetallen deelbaar zou zijn geweest was 35 een priemgetal).
Je vindt: 35 is deelbaar door 5, test vervolgens 35/5 = 7 op primaliteit, en daar ben je nu direct mee klaar.

Bij grotere waarden wordt dit nog duidelijker.
Neem bijvoorbeeld n=5719, de kleinst mogelijke waarde van s is dan s=176, waarbij je dus na 176/2=88 keer testen vindt n=43x133.
Als je daarentegen alle priemgetallen afgaat, zie je al na 4 delingen (2,3,5,7) dat n deelbaar is door 7, vervolgens ga je verder met n/7=817, en moet je 817 testen op deelbaarheid door alle priemgetallen vanaf 7 tot maximaal wortel(817) =28,58...

Daar komt nog bij wat daco opmerkt:
als je weet dat n=43x133, moet je je procedure nogmaals uitvoeren op je deelresultaten 43 en 133.

Aan de andere kant: mocht je een methode vinden om gegeven n direct de waarde van s te bepalen, dan zou dit een zeer grote ontdekking zijn. Nogmaals: een erg leuk probleem!

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door arie » 21 feb 2010, 18:03

PS: je kan starten met zoeken vanaf 2 x wortel(n):
Indien n te splitsen is in factoren d en n/d, dan is s minimaal als d=n/d, dus s = 2 x wortel(n)
Als n=5719 kan je dus beginnen met zoeken naar s bij 2 x wortel(5719) = 152.
Dit levert al een forse verbetering voor je methode.

In het geval n=35 kan je starten met 2 x wortel(35) = 12, je hebt in dat geval dan direct de juiste waarde voor s gevonden.

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 19:32

@daco

Met mijn methode hoef je niet te doen wat jij zegt.

Wat je dat:
neem bijvoorbeeld het getal 30

30 = 6 x 5

en 6 = 3 x 2

dus 30 = 5 x 3 x 2

Je kan gewoon de methode herhalen voor de factoren die je gevonden hebt.

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 19:37

@arno

Ik probeer momenteel dit op te lossen:

vind voor een gegeven a een b zodat:

een geheel getal is.
Dit is het geval met pythagoreese drietallen.

Dit om inzicht te krijgen in hoe je het originele probleem kan oplossen.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 21:49

30 is een relatief eenvoudig getal om te ontbinden. Wat je deed is 30 ontbinden in 6 en 5. 6 ontbinden in 2 en 3. 5 heb je niet ontbonden, want je weet al dat dat een priemgetal is. voor 6 weet je dat 2 en 3 de 2 priemdelers zijn. Hoe zou je het anders willen doen?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 21 feb 2010, 22:10

@daco

het klinkt wel heel eenvoudig hé?
maar doe het nu eens voor ,
dat doe je niet zo maar zoals je deed bij 30 :P .

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 21 feb 2010, 22:18

Sorry, ik ben even de draad kwijt. Het lijkt me inderdaad lastig om 2^67-1 te ontbinden zoals ik bij 30 deed, was ik ook niet van plan. daarom vroeg ik me af hoe je grotere getallen wilt ontbinden zoals je beschreef. Je moet je factoren weer verder ontbinden, om te kijken of die niet priem zijn.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 10:04

gehele oplossingen voor waarin a en b geheel zijn kunnen gevonden worden door kwadrateren. Vb: a^2+b^2=c^2. stel c=a+1. a^2+b^2=(a+1)^2. na haakjes wegwerken en links en rechts -a^2 volgt b^2=2a+1. Nu nog een kwadraat kiezen, vb: 9. b^2=9, dan a=4. Die klopt! Kan je er hiermee achter komen hoe je alle gehele uitkomsten voor de verg. kan vinden?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 22 feb 2010, 16:48

@daco
Hierbij geef je gewoon een a,b en c die bij elkaar passen.
Maar het probleem vraagt voor een goede bij een gegeven .

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 17:10

Dan kan je misschien zo oplossen: gegeven: a=5. als eerder uitgewerkt b^2=2a+1. stel dat a b was, dus 5^2=2a+1. a=12. voor a=5, b=12, je draait de berekening om. Moet er alleen nog een oplossing gevonden worden voor meerdere oplossingen. dus niet a^2+b^2=(a+1)^2 met b=5, maar a^2+5^2=(a+c)^2. 25=2ac+c^2 met . Hoe je die op moet lossen weet (nog) niet. Kan wel met waarden voor c kiezen en dan a vinden, maar dat is veel werk
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 22 feb 2010, 17:33

Je kunt voor ieder oneven getal groter dan 1 voor a een mooi pythagoreese drietal maken zodat a²+b²=c². Als je dit weet is het vervolgens redelijk makkelijk om voor de even getallen ook een getal te bedenken!

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 17:38

Ja, dat wel, als je weet dat 3^2+4^2=5^2, dan (3*2)^2+(4*2)^2=(5*2)^2 dus 6^2+8^2=10^2 of
(3n)^2+(4n)^2=(5n)^2.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 22 feb 2010, 17:51

@daco: Als je een algemene formule voor de oneven getallen weet op te stellen dan gebruik je dezelfde gedachten om er een op te stellen voor de even getallen. Je kunt inderdaad ook vermenigvuldigen!

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 17:55

Maar denk je dat er een manier is om als je weet: a=5, de b te vinden, alle waarden voor b? Hoe kan je in a^2+5^2=(a+c)^2. 25=2ac+c^2 de hele waarden voor a vinden, deze verg klopt niet voor alle c.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 22 feb 2010, 21:11

@daco: Er wordt gesproken over een b en niet alle. Het is mogelijk om alle hele getallen voor b te "berekenen" bij een bepaalde hele waarde voor a. Ook hier geldt hoe groter a hoe lastiger het wordt.

Volgens mij geldt hier ook een doorbraak als het direct kan!

Anoniem

Plaats reactie