oplossingen in gehele getallen

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 21:32

Het lijkt me mooi alle hele getallen voor b te kunnen vinden bij een gegeven hele waarde voor a.
daartoe in 25=2ac+c^2, dus c^2+2ac-25=0 dan c uitdrukken in a. Met de abc-formule kom je dan uit op
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 22 feb 2010, 21:46

@daco: Je herschrijft het orgineel zonder enige meerwaarde!

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 22 feb 2010, 23:28

Klopt helaas... viel me ook op toen ik het wilde gebruiken.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 23 feb 2010, 10:33

Je kan het aantal mogelijkheden eventueel inperken; als je oplossingen zoekt voor 25+b^2=c^2 waarin b en c geheel zijn, kan je gebruiken dat kwadraten altijd eindigen op een 0, 1, 4, 5, 6 of 9. Immers 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9....9^2=81. geen van de kwadraten eindigt op 2, 3, 7, of 8. evt kan je dit ook bekijken voor de laatste 2 of meer cijfers.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 24 feb 2010, 21:11

Als je het anders benadert dan krijg je "mooie" getallen voor a en "mooie" getallen voor c!

Probeer eens alle mooie pythagoreese drietallen te vinden als b = 48.

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 24 feb 2010, 23:58

Zijn "mooie getallen" geen priemgetallen of mooie veelvouden o.i.d?

Om deze getallen te vinden voor a^2+b^2=c^2 wil ik ook gebruik maken van het volgende : stel c=a+1
(an)^2+(bn)^2=((a+1)n)^2
met (3n)^2+(4n)^2=(5n)^2 kan je al pythagorese paren vinden. Als 3n=48, dan n=16. Als 4n=48, dan n=12.
Ik geef Pythagorese drietallen in volgorde a,b,c.
Met bovenstaande vind je dan al 64,48,80 en 36,48,60.
nu


Hiermee kan je de volgende pythagorese drietallen vinden: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41
Nu zoeken naar waarden voor a en b in deze drietallen die 48 delen. dat zijn, wat we al vonden, 3 en 4, verder 12 en 24.
voor 48=12n, n=4, dus 20,48,52
voor 48=24n, n=2, dus 14,48,50
De pytagorese paren zijn dus (die ik vond) .

Wat mij opvalt: voor deze drietallen: geldt: en .
Verder: als je de gevonden in de gevonden paren de a,b en c in volgorde van klein naar groot zet (bij 3 van de 4 paren waarvoor geldt is dat al het geval, alleen bij 64,48,80 niet), geldt dat c-b 48 deelt. c-b is voor de 4 drietallen v.l.n.r: 16, 12, 4, 2.
1, 3, 6, 8, 24 en 48 ontbreekt.
Toeval?
Laatst gewijzigd door David op 25 feb 2010, 10:14, 3 keer totaal gewijzigd.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 25 feb 2010, 01:13

Het zijn er iets meer!

Laten we eerst even bij de oorsprong beginnen:

Stel

Dus


Verder uitwerken






Dus


k is dus het verschil tussen c en b. Dit is in de vraagstelling dus een geheel. Voordat we dit gaan doen kijken we eerst even naar de noemer. Dit is en levert dus altijd een even getal op. Dus de teller moet in dit geval ook even zijn. Hierdoor is de noemer oneven - oneven of even - even. Je weet al wat de ene is, dit is namelijk . Bij a is even dan moet k ook even zijn en bij a is oneven dan k ook oneven.

Terug naar het probleem a= 48 dan mooie getallen eventueel bij k is even.

Code: Selecteer alles

 k   a   b   c
 2  48 575 577        
 4  48 286 290        
 6  48 189 195        
 8  48 140 148        
12 48  90 102        
16 48  64  80        
18 48  55  73        
24 48  36  60        
32 48  20  52        
36 48  14  50
Er is altijd een oplossing voor iedere a!
voor a = even


voor a = oneven


Anoniem

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door magicsander » 25 feb 2010, 08:11

@Anoniem

wow,
Dat is geniaal, als dat ook kon voor het geval

dan zou dat echt super fantastisch zijn.
Maar dan moet die oplossing natuurlijk niet naar de ontbinding

leiden, natuurlijk.

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 25 feb 2010, 11:05

magicsander,

Probeer nu eens zelf iets te "verzinnen". Je hebt volgens mij genoeg informatie om uit te putten.

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 25 feb 2010, 17:10

Anoniem, Kan je alle pythagorese drietallen vinden met een gegeven door voor k, de delers van a^2 tussen 1 en a bij een oneven a; of tussen 4 en a bij een even a. a zelf niet kiezen In het voorbeeld met 48, alle even delers van 48^2, zijnde 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 24, 32, de waarden die je vond voor k?
Als ik dit toepas voor 63. dan alle oneven delers van 63^2 onder 63 kiezen; 63 is zelf natuurlijk oneven.
Die delers zijn: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 49. dan kom ik op de drietallen:
k=1; 63,1984,1985
k=3; 63,660,663
k=7; 63,280,287
k=9; 63,216,225
k=21; 63,84,105
k=27; 63,60,87
k=49; 63,16,65
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 25 feb 2010, 19:08

Daco,

Probeer je oplossingsmethode voor "geldige" k's eens bij a = 54! Je zult dan zien dat het nog niet helemaal klopt. Maar je zit wel in de goede richting te denken.

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 25 feb 2010, 19:35

Ik ben dan weer uitgegaan van wat ik beschreef. Er zijn 21 delers voor 54^2. 54^2=3^6*2^2. aantal delers van a^b*c^d=(b+1)(d+1) waar a en c zijn priem. bij 54^2, b=6 en d=2. dus 7*3=21 delers, waarvan (21-1)/2 onder 54 liggen. De delers van 54^2 onder 54 zijn 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36. a=even, dus blijft voor a over: 2, 4, 6, 12, 18, 36. Met , a=54 en b+k=c
k=2 volgt b=725, c=727 dus drietal 54,725,727.
bij k=4 gaat het mis; , dat is nl. 362.5
voor alle k die 4 delen, gaat het mis. blijft over 2, 6 en 18.
We hadden al: k=2; 54,725,727
nu nog: k=6; 54,240,246
en k=18; 54,72,90
Verdere beperking voor k, 2k deelt a^2(?)

edit: 2k deelt a^2 is het niet; dan zou voor a=63 geen drietallen te vinden zijn, dus 2k deelt a^2-k^2, dan komt uit de breuk een geheel getal.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 25 feb 2010, 19:56

Daco,

Je ziet dus dat het bij even nog niet helemaal goed gaat. Deel bij even de a door twee en bepaal dan de delers van het kwadraat. Vermenigvuldig de delers daarna met 2!




De delers van 729 zijn 1,3,9,27,81,243 en 729. Dus voor k is 2, 6 en 18 krijg je mooie getallen.

Anoniem

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4927
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door David » 25 feb 2010, 20:40

Is het toeval dat ik ook k=2, 6 en 18 vond? Dus voor k,
1. .
2. Vind de delers van
3. kies de uitkomsen bij stap 2 tussen 4 en a.
4. Gebruik en dan b+k=c om c te vinden.
Laatst gewijzigd door David op 25 feb 2010, 21:33, 1 keer totaal gewijzigd.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Anoniem

Re: oplossingen in gehele getallen

Bericht door Anoniem » 25 feb 2010, 21:28

Daco,

Het is geen toeval. Door het delen vang je eventuele fouten af en je hoeft dus geen controle meer uit te voeren.

Anoniem
Laatst gewijzigd door Anoniem op 25 feb 2010, 21:50, 1 keer totaal gewijzigd.

Plaats reactie