Wiskundeforum

Dit druiste volledig in tegen mijn intuïtie:

Stel voor het gemak dat de omtrek van de aarde exact 40.000 km is en de aarde een perfecte bol en je spant er een touw rond.

Dan neem je een touw dat 1 meter langer is en je spant het ook om de aarde.

Zou er een slak kunnen onder dat touw kruipen?

Reken maar eens na.

Hangt af van de dikte van het touw en de hoogte van de slak.
Span je alleen om de omtrek van de aarde of over de hele bol?
Als je de omtrek bedoelt, gebruik O=2\pi r, O=omtrek, r=straal van cirkel.

Denk je dat je de straal van de bol (aarde) hiervoor nodig hebt?

O = omtrek van de aarde:

r1 = O / (2*pi)
r2 = (O + 1) / (2*pi)
=>
r2 - r1 = 1/(2*pi) = 0,159 m. Daar kunnen de meeste slakken wel onderdoor.

Merk op dat O in de vergelijkingen wegvalt. Het maakt dus niet uit of je de aarde, de maan of een pingpongbal neemt...

Maar nu deze:
Neem dat touw van 40.000.001 m, pak de beide uiteinden bij elkaar en hang daar de aarde in op.
Hoe hoog ligt nu het ophangpunt boven het aardoppervlak?

Hallo Tsgald,

jouw vraag is een beetje te hoog gemikt voor mij. (maar ik kijk uit naar het antwoord en hoe het gevonden is)

Ik vond het alleen heel verrassend dat één enkel metertje bij dat touw zou maken dat het zich overal 16 cm boven het aardoppervlak bevindt.

Denk je dat je de straal van de bol (aarde) hiervoor nodig hebt?

Ik dacht van wel, om de hoogte van het touw te berekenen. Na wat narekenen zie ik dat het niet persé nodig is, zoals Tsagld al aangaf. Merk wel op dat hij in totaal ongeveer 16 cm boven aarde hangt. Dat is ongeveer 8 cm aan bijv. de noordkant en 8 cm aan bijv. de zuidkant
Idefix, kan je aangeven wat je niet begrijpt aan het antwoord van Tsagld

daco schreef:... Merk wel op dat hij in totaal ongeveer 16 cm boven aarde hangt. Dat is ongeveer 8 cm aan bijv. de noordkant en 8 cm aan bijv. de zuidkant ...

Let op: de straal neemt met ongeveer 16 cm toe, niet de diameter (zie de uitwerking van tsagld).

Arie,

Nare fout, had net afgesloten toen ik bedacht dat er iets niet klopte... je was me voor.

OK, dan klopt alles weer.
Ben je ook al bezig met de vervolgvraag van tsagld:

tsagld schreef:Maar nu deze:
Neem dat touw van 40.000.001 m, pak de beide uiteinden bij elkaar en hang daar de aarde in op.
Hoe hoog ligt nu het ophangpunt boven het aardoppervlak?

Ik weet niet goed hoe de vraag te interpreteren.
Is het zo: De een deel van de aarde hangt in het touw, raakt de aarde overal, de rest loopt als raaklijn door tot de einden van de touwen elkaar snijden? Denk dat het zo is.

Anders lijkt het me de zelfde opgave als oorspronkelijk.

Daco, je interpreteert het zo goed.

In één van de vroegere Pythogoras-tijdschriften (ca. 1984, schat ik) stond al ooit de vraag hoeveel langer een touw moest zijn om zicht overal één meter boven het aardoppervlak te bevinden. Het antwoord hierop is 2pi meter, ongeacht de straal van de bol. Die was makkelijk, maar de vraag die erop volgde was de vraag die ik zojuist stelde, maar dan voor een touw dat 40.000.000 + 2pi meter lag is.
Ik heb het antwoord destijds kunnen benaderen, maar niet exact kunnen berekenen. Het antwoord was overigens ook verrassend.

Ik ben benieuwd of er een exacte methode is.

daco schreef:

Denk je dat je de straal van de bol (aarde) hiervoor nodig hebt?

Ik dacht van wel, om de hoogte van het touw te berekenen. Na wat narekenen zie ik dat het niet persé nodig is, zoals Tsagld al aangaf. Merk wel op dat hij in totaal ongeveer 16 cm boven aarde hangt. Dat is ongeveer 8 cm aan bijv. de noordkant en 8 cm aan bijv. de zuidkant
Idefix, kan je aangeven wat je niet begrijpt aan het antwoord van Tsagld

Ik begrijp het antwoord van Tsgald wel, maar zijn nieuwe vraag is wat te moeilijk voor een beginner als ik.
Overigens denk ik dat het touw overal 16 cm boven het aardoppervlak hangt, omdat die 16 cm bij de straal opgeteld wordt, en niet bij de diameter.

Ik ben benieuwd of er een exacte methode is.

Om de hoogte van het ophangpunt te berekenen? Ik denk het wel, je kan gebruiken dat als het touw voor een deel om de aarde is gespannen (die als aangenomen perfect rond is) de uiteinden doorgaan in raaklijnen op de cirkel. Kan je hier iets mee? Anders zal ik later nog eens proberen te voorrekenen.

Ik zie graag je poging...

daco,

Ik ben ook benieuwd naar de "exacte" oplossing! Een vergelijking heb ik wel maar deze is niet "direct" oplosbaar.

Anoniem