bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 21 apr 2010, 14:40

Ik zie de prof. vrijdagmiddag om 16.00. Daarna volgt een treinreis, dus als alles lukt, staat het vrijdagavond online als een raadsel in dit topic.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien)

Bericht door David » 22 apr 2010, 17:06

Dit kan ik wel alvast zelf bewijzen :D
Ik presenteer het als een puzzel,
Dit is een mooie oefening voor recursieve formules.
met 0<a<1 en m,x>0 (m<0 heeft een andere oplossing)

Naarmate n groter wordt, naar welke waarde convergeert deze rij?

Veel plezier!
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien)

Bericht door David » 23 apr 2010, 20:11

Ik ben bij de prof. geweest. Hij wist niet hoe dit te bewijzen, maar kon het ook niet weerleggen. Hij heeft me aangeraden te leren programmeren, om evt. mocht het onjuist zijn, tegenvoorbeelden te zoeken, en boeken te lezen over rijen en reeksen, in de hoop dat daar een methode wordt aangeboden om dergelijk bewijs te vinden. Ik post ook dit als een puzzel.

gegeven:
met en .

Bereken . Valt er iets op?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3512
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: bewijs (misschien)

Bericht door arie » 24 apr 2010, 23:16

Als je n naar oneindig laat gaan en aanneemt dat u[n] convergeert, betekent dit dat uiteindelijk u[n]=u[n-1], dus



verandert in







Nu moet je alleen nog bekijken voor welke u[0] bovenstaande convergeert.

In je eerdere post stel je al dat je de algemenere formule (voor 0 < a < 1) kan bewijzen, maar dan moet a=0.5 toch ook lukken? Klopt dit probleem wel?

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door op=op » 25 apr 2010, 09:56

met en .

Duidelijk is dan voor alle .
We maken voor het gemak een nieuwe rij:
Schrijf .
Dan gaat de recursie over is
(*).
We tonen aan dat en dus dat .

Stel ,
dan is
De rij is dalend en begrensd (immers voor alle ), dus heeft een limiet.
Stel die limiet is .
Neem in de vergelijking (*) links en rechts de limiet. Resultaat: .
Blijkbaar is .
Stel , dan is net zo aan te tonen dat stijgend is en naar boven begrensd door 1.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 25 apr 2010, 14:31

Er is al eerder in dit forum geschreven over de benadering voor met de recursieve formule, en die bleek te kloppen. Het maakt niet uit welke reële waarde je voor kiest. Die staat meer hier uitgelegd.
Wat op=op schreef, klopt, hoewel de redenatie me hier en daar wat ver gaat. de rij convergeert naar . Dat raadseltje is dus opgelost, maar waar ik naartoe wil is de uitdrukking van
etc. in m en x voor a=0.5.

Ik zal een aantal geven.


In de coëfficiënten lijkt me een regelmaat te zitten. Ik vraag me af of jullie die ook kunnen vinden.

edit: ik had dit als bewijsje voor de convergentie. Klopt dit?
als
dan

Het laatste blijkt te gelden, want 0<a<1.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door op=op » 27 apr 2010, 08:34

Je "bewijsje" voor de convergentie klopt niet. In de link die je geeft staat niets uitgelegd.
Voor de n-de term van het rijtje grijp ik liever terug naar mijn rijtje v's die een factor schelen met het rijtje u's.
Er geldt:
met

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 27 apr 2010, 11:06

Kan je me uitleggen wat er niet klopt aan het "bewijsje"? Ik doelde in de link naar formules; iteratief oplossen van de wortel. Daar wordt een voorbeeld gegeven. Ik was op zoek naar iets anders; met

Over : Hier moet gelden dat 2j≤k en 2j≤n, als ik n=4, j=1, k=0 gebruik, kom ik uit op


Bedoelde je dat, of werkt je formule anders??
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door op=op » 27 apr 2010, 11:34

Wat jij aantoont is dat .
Dat lijkt me te weinig voor een bewijs.

In mijn formule moet vervangen worden door .

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 27 apr 2010, 11:52

Ik ben uitgegaan van een generalisatie, ik zal het dan anders proberen.
als
dan

Lastig.. maar zoiets.

Ik zal dat in je formule wijzigen. Wel creatief; als k=1, geldt

n=2
k=0:
k=1:
k=2:
Laatst gewijzigd door David op 27 apr 2010, 13:49, 1 keer totaal gewijzigd.
Reden: toevoeging
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door op=op » 27 apr 2010, 14:28

Je probeert vermoed ik te bewijzen dat de rij stijgend is.
Nou dat is ie soms wel en soms niet. Dat hangt van de waarde van af. Dat is nog een heel gedoe.

Met de rechte haken in wordt een afronding naar het grootste gehele getal kleiner dan k/2 bedoeld (De floor in computertaal; de entier in wiskundetaal (spreek je uit op z'n Frans)).

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 27 apr 2010, 14:35

Ok, dat wist ik niet, maar als ik naar LateX formules kijk, kan je floor weergeven als

Ik probeer iets anders te bewijzen dan dat je voorstelt; kijk eens naar de coëfficienten van de getallen bij en . Valt je iets op?
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

Gebruikersavatar
op=op
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1096
Lid geworden op: 23 apr 2010, 18:11

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door op=op » 27 apr 2010, 14:47

De floor wordt inderdaad vaak zo weergegeven.
De entier schrijf je in de wiskunde met rechte haken.

David
Moderator
Moderator
Berichten: 4939
Lid geworden op: 14 mei 2009, 16:22

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door David » 27 apr 2010, 18:42

Ok, wel wonderlijk dat ze voor twee dezelfde functies een andere notatie hebben, hoewel dit met vermenigvuldigen ( en ) bijv. ook voorkomt.

Maar het raadsel blijft onopgelost.
Stap 1 van het oplossen van een probleem is te erkennen dat je een probleem hebt.
(Raffiek Torreman)

magicsander
Vast lid
Vast lid
Berichten: 58
Lid geworden op: 09 jul 2009, 19:01

Re: bewijs (misschien). Kan jij dit vinden?

Bericht door magicsander » 28 apr 2010, 19:09

Ik ben niet goed met rekenregels voor sommaties, ik kan wel een programma schrijven om iets uit te testen voor een aantal waarden. Dus wat moet ik dan uittesten?

Plaats reactie