Wiskundeforum

Ik zie de prof. vrijdagmiddag om 16.00. Daarna volgt een treinreis, dus als alles lukt, staat het vrijdagavond online als een raadsel in dit topic.

Dit kan ik wel alvast zelf bewijzen
Ik presenteer het als een puzzel,
Dit is een mooie oefening voor recursieve formules.
met 0<a<1 en m,x>0 (m<0 heeft een andere oplossing)

Naarmate n groter wordt, naar welke waarde convergeert deze rij?

Veel plezier!

Ik ben bij de prof. geweest. Hij wist niet hoe dit te bewijzen, maar kon het ook niet weerleggen. Hij heeft me aangeraden te leren programmeren, om evt. mocht het onjuist zijn, tegenvoorbeelden te zoeken, en boeken te lezen over rijen en reeksen, in de hoop dat daar een methode wordt aangeboden om dergelijk bewijs te vinden. Ik post ook dit als een puzzel.

gegeven:
met en .

Bereken . Valt er iets op?

Als je n naar oneindig laat gaan en aanneemt dat u[n] convergeert, betekent dit dat uiteindelijk u[n]=u[n-1], dus



verandert in







Nu moet je alleen nog bekijken voor welke u[0] bovenstaande convergeert.

In je eerdere post stel je al dat je de algemenere formule (voor 0 < a < 1) kan bewijzen, maar dan moet a=0.5 toch ook lukken? Klopt dit probleem wel?

met en .

Duidelijk is dan voor alle .
We maken voor het gemak een nieuwe rij:
Schrijf .
Dan gaat de recursie over is
(*).
We tonen aan dat en dus dat .

Stel ,
dan is
De rij is dalend en begrensd (immers voor alle ), dus heeft een limiet.
Stel die limiet is .
Neem in de vergelijking (*) links en rechts de limiet. Resultaat: .
Blijkbaar is .
Stel , dan is net zo aan te tonen dat stijgend is en naar boven begrensd door 1.

Er is al eerder in dit forum geschreven over de benadering voor met de recursieve formule, en die bleek te kloppen. Het maakt niet uit welke reële waarde je voor kiest. Die staat meer hier uitgelegd.
Wat op=op schreef, klopt, hoewel de redenatie me hier en daar wat ver gaat. de rij convergeert naar . Dat raadseltje is dus opgelost, maar waar ik naartoe wil is de uitdrukking van
etc. in m en x voor a=0.5.

Ik zal een aantal geven.


In de coëfficiënten lijkt me een regelmaat te zitten. Ik vraag me af of jullie die ook kunnen vinden.

edit: ik had dit als bewijsje voor de convergentie. Klopt dit?
als
dan

Het laatste blijkt te gelden, want 0<a<1.

Je "bewijsje" voor de convergentie klopt niet. In de link die je geeft staat niets uitgelegd.
Voor de n-de term van het rijtje grijp ik liever terug naar mijn rijtje v's die een factor schelen met het rijtje u's.
Er geldt:
met

Kan je me uitleggen wat er niet klopt aan het "bewijsje"? Ik doelde in de link naar formules; iteratief oplossen van de wortel. Daar wordt een voorbeeld gegeven. Ik was op zoek naar iets anders; met

Over : Hier moet gelden dat 2j≤k en 2j≤n, als ik n=4, j=1, k=0 gebruik, kom ik uit op


Bedoelde je dat, of werkt je formule anders??

Wat jij aantoont is dat .
Dat lijkt me te weinig voor een bewijs.

In mijn formule moet vervangen worden door .

Ik ben uitgegaan van een generalisatie, ik zal het dan anders proberen.
als
dan

Lastig.. maar zoiets.

Ik zal dat in je formule wijzigen. Wel creatief; als k=1, geldt

n=2
k=0:
k=1:
k=2:

Je probeert vermoed ik te bewijzen dat de rij stijgend is.
Nou dat is ie soms wel en soms niet. Dat hangt van de waarde van af. Dat is nog een heel gedoe.

Met de rechte haken in wordt een afronding naar het grootste gehele getal kleiner dan k/2 bedoeld (De floor in computertaal; de entier in wiskundetaal (spreek je uit op z'n Frans)).

Ok, dat wist ik niet, maar als ik naar LateX formules kijk, kan je floor weergeven als

Ik probeer iets anders te bewijzen dan dat je voorstelt; kijk eens naar de coëfficienten van de getallen bij en . Valt je iets op?

De floor wordt inderdaad vaak zo weergegeven.
De entier schrijf je in de wiskunde met rechte haken.

Ok, wel wonderlijk dat ze voor twee dezelfde functies een andere notatie hebben, hoewel dit met vermenigvuldigen ( en ) bijv. ook voorkomt.

Maar het raadsel blijft onopgelost.

Ik ben niet goed met rekenregels voor sommaties, ik kan wel een programma schrijven om iets uit te testen voor een aantal waarden. Dus wat moet ik dan uittesten?