Koch-kromme

[jippleear]

In de figuren is het ontstaan van de Koch-kromme uitgebeeld. Het blijkt dat de oppervlakte van het gebied dat door de kromme wordt omsloten een grenswaarde heeft. We gaan uit van een gelijkzijdige driehoek met zijde 12, de initiator. Elk van de zijden wordt in drie gelijke stukken verdeeld, op het middelste stuk wordt een gelijkzijdige driehoek geplaatst en vervolgens wordt dit middelste stuk weggelaten. Zo ontstaat de tweede figuur. Dit proces wordt herhaald en zo ontstaat de derde figuur, enz. Ga je oneindig lang door, dan ontstaat de kromme van Koch.

De oppervlakte van het gebied dat wordt omsloten door de ne figuur, is te berekenen met de somformule voor een meetkundige vrij.

Wat is de grenswaarde van de oppervlakte als n nadert naar oneindig.

[David]

Hallo Jippleear,

Ga er eens vanuit dat de lengte van die zijde a is.
Hoeveel driehoeken zijn er na de eerste "cyclus" onstaan?
Hoe groot is de oppervlakte van die driehoek(en)?

Hoeveel zijn er na de tweede cyclus ontstaan?
Hoeveel keer zoveel is dat als na de 1e cyclus?
Hoe groot is de opp van een individuele driehoek uit de 2e cyclus?
Hoeveel keer kleiner is dat dan de driehoek(en) uit de eerste cyclus?

Kom je zo verder?

[jippleear]

Hmm, ik heb eens even na gedacht. De rij van de oppervlakte van de eerste vier figuren :

#driehoek | 1 | 2 | 3 | 4 |
oppervlakte | 72 | 96 | 106+(2/3) | 111+(11/27 |

#driehoek | 1 | 2 | 3 |
toename opp. | 24 | 10+(2/3) | 4+(20/27) | vermenigvuldigd met (4/9)
=> u(n) = u(n-1) • (4/9)
=> u(n) = u0 • (4/9)^n u0 = 24

Hoe bereken ik nu het dekpunt of grenswaarde van u(n) = u(n-1) • (4/9) wanneer n naar oneindig nadert.

[David]

Een gelijkzijdige driehoek met zijde 12 heeft niet een oppervlakte van 72; de hoogte is niet 12 (ben je daarvan uitgegaan?). Is het eerste lijnstuk 12 cm, of 36 cm?

Je reden, 4/9, klopt. Die 4 in de teller komt van het aantal driehoeken, na 1 cyclus is er 1 bijgekomen, in de 2e cyclus 4, de 3e 16, enz. De opp van een afzonderlijke driehoek wordt 9 keer zo klein. Waarom? Gebruik opp driehoek=0.5*zijde*hoogte.

Uiteindelijk geldt:
.
Dat geldt als |a|<1 (de absolute waarde van a is kleiner dan 1)
Dan is je beginwaarde 1, de opp van de driehoek. Maar die opp is niet 1. Hoe groot is de opp. Gebruik
een driehoek met hoeken van 90, 60 en 30 graden. Welke verhouding is er tussen de zijden? Die verhouding kan gevonden worden met pythagoras of met behulp van goniometrie.

[jippleear]

Opp. van de eerste figuur is dan 36√3, best wel stom… Maarja.

Dus dan zou u zeggen dat geldt :
en a=(4/9) ?

[David]

De formule die ik je gegeven heb, heb ik wat onduidelijk weergegeven.
.
Er staan 2 enen in de eerste die ik gaf...
Voor jou opgave wordt dat dus

Kijk nog eens naar de opp van een gelijkzijdige driehoek met zijde 12

[jippleear]

Is de vergelijking niet een snijpunt van de lijnen y=ax+b en y=x… Echter het dekpunt wat gevonden moet worden is van een meetkundige rij : geldt de vergelijking ook voor een meetkundige rij ?

[David]

Ik snap niet wat je bedoelt met de formule y=x...,
In y=ax+b geldt x=(y-b)/a.

Over de meetkundige rij: dat kan je bijvoorbeeld vinden opwikipedia.
Je geeft een recursieve formule, direct is die ook te schrijven als

[jippleear]

Snijpunt van de lijn y=x en de lijn y=ax+b, de enige resterende vraag is of deze vergelijking ook geldt voor een meetkundige rij aangezien de ene lijn in de vorm van staat i.p.v.

[David]

Mooi inzicht! De formule, werkt ook voor meetkundige rijen. |a|<1, a is de reden, en b is de beginwaarde.

[jippleear]

Dank.

De oppervlakte was een beetje dom, even opnieuw uit gewerkt.

#driehoek | 1 | 2 | 3 |
oppervlakte | 36√3 | 48√3 | 53+(1/3)√3

#driehoek | 1 | 2 | 3 |
opp. toename | 12√3 | 5+(1/3)√3 | 2+(10/27)√3 |

=>
=>

=>






Eindantwoord ?!

[David]

Je gebruikt voor de b de toename van de oppervlakt van de driehoeken volgens mij.
opp driehoek=0.5*zijde*hoogte. zijde=0.5*12=6. De hoogte is , dat vond je al, denk ik. Als je dit gebruikt, heb je nog de helft van de driehoek gevonden. Snap je waarom? Anders maak eens een tekening. De oppervlakte van de eerste waarde met de driehoek is de beginwaarde b, waarmee je het dekpunt kan vinden. Je bent dichtbij.

[jippleear]

De totale toename is dus . Dit moet je optellen bij de 'begin' oppervlakte, .

Oppervlakte wanneer n naar oneindig nadert,

Oppervlakte van het eerste figuur : Twee rechthoekige driehoeken, met hoogte , breedte 6.

Opp. driehoek #1 :
Opp. driehoek #1 :

[David]

Ja, je opp klopt, maar dat is ook je beginwaarde. Je hoeft niet de toename erbij op te tellen.

[jippleear]

Maar deze rijen gelden toch niet voor de oppervlakte, maar toch voor de toename van de oppervlakte, wanneer je de som hebt van alle 'toenamen' en deze optelt bij de begin oppervlakte heb je volgens mij de oppervlakte gemaximaliseerd… :





Of zie ik nu nog iets over het hoofd…