Relatief priem

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
vwpolo02
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 114
Lid geworden op: 01 mei 2010, 19:12

Relatief priem

Bericht door vwpolo02 » 02 mei 2011, 00:36

Zij m en n natuurlijke getallen die relatief priem zijn, en a en b gehele getallen:

Bewijs dat:
1°als:
a=b (mod m) en a=b (mod n)
dan:
a=b (mod m.n)

2°Geldt dit ook als ggd(m,n) > 1?

1°vb: m=3, n=4
ggd(m,n) = 1 (dus relatief priem)
50 = 2 (mod 3) en 50 = 2 (mod 4)
=>50 = 2 (mod 3.4), dus geldig

2°vb: m=4, n=8
ggd(m,n) > 1 (dus niet relatief priem)
50 = 2 (mod 4) en 50 = 2 (mod 8 )
=>50 = 18 (mod 4.8 ) , dus niet geldig

m | (a-b)
n | (a-b)
=> m*n | (a-b)(a-b)

Hoe kan ik nu aantonen dat m*n|(a-b) en enkel wanneer m en n relatief priem zijn?
Laatst gewijzigd door vwpolo02 op 02 mei 2011, 23:40, 1 keer totaal gewijzigd.

vwpolo02
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 114
Lid geworden op: 01 mei 2010, 19:12

Re: Relatief priem

Bericht door vwpolo02 » 02 mei 2011, 12:23

Niemand die mij enige hint kan geven?

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Relatief priem

Bericht door Sjoerd Job » 02 mei 2011, 13:11

Wat je eigenlijk zou moeten bewijzen is: Als en en dan . (en dan dit toepassen op .). Ik ken uit mijn hoofd niet een bewijs hiervoor, maar weet wel dat het waar is. Welke voorkennis heb je?
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

vwpolo02
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 114
Lid geworden op: 01 mei 2010, 19:12

Re: Relatief priem

Bericht door vwpolo02 » 02 mei 2011, 15:01

Is vraag voor een cursus discrete wiskunde. Ik zal mij hier al mee proberen te behelpen...

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Relatief priem

Bericht door Sjoerd Job » 02 mei 2011, 16:59

Gebruik bijvoorbeeld en , dus . Zie dit te gebruiken om bij te komen.
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

vwpolo02
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 114
Lid geworden op: 01 mei 2010, 19:12

Re: Relatief priem

Bericht door vwpolo02 » 02 mei 2011, 22:07

Geraak er maar niet aan uit... Het feit dat elk getal een unieke priemontbinding heeft lijkt me hier wel van belang...

Huibert
Vast lid
Vast lid
Berichten: 50
Lid geworden op: 24 apr 2008, 18:56

Re: Relatief priem

Bericht door Huibert » 02 mei 2011, 22:49

Kun je niet gebruiken dat als ggd(m,n)=1, de priemontbinding van m en n geen gelijke priemgetallen bevat. Omdat m|x en n|x zijn de priemontbindingen van m en n wel beide een gedeelte van de priemontbinding van x en dus die van mn ook en dus is mn|x.
Het is wat krom opgeschreven, maar ik heb het idee dat het wel klopt.

vwpolo02
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 114
Lid geworden op: 01 mei 2010, 19:12

Re: Relatief priem

Bericht door vwpolo02 » 02 mei 2011, 23:45

Maar hoe toon je aan dat het niet zo is wanneer ze niet relatief priem zijn zoals in het 2e voorbeeld? Als je 2 getallen vermenigvuldigt die relatief priem zijn heb je hun kgv. In dit geval is dat dus a (+ b als rest)

Sjoerd Job
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1148
Lid geworden op: 21 jan 2006, 15:09
Locatie: Krimpen aan den IJssel

Re: Relatief priem

Bericht door Sjoerd Job » 03 mei 2011, 05:10

vwpolo02 schreef:Maar hoe toon je aan dat het niet zo is wanneer ze niet relatief priem zijn zoals in het 2e voorbeeld? Als je 2 getallen vermenigvuldigt die relatief priem zijn heb je hun kgv. In dit geval is dat dus a (+ b als rest)
Als ze niet relatief priem zijn, kan het nog wel waar zijn. Bijvoorbeeld:


, .
Dat het niet altijd waar hoeft te zijn kan met een tegenvoorbeeld. (die heb je al gegeven).

Wat je kan gebruiken is dat omdat , en , dat . Hier staat dus ook dat . Je weet dat , dus (vul in).
``Life is complex. It has real and imaginary parts.''

Plaats reactie