Parabool draaien

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Dux
Vast lid
Vast lid
Berichten: 74
Lid geworden op: 13 jul 2012, 12:38

Parabool draaien

Bericht door Dux » 19 jul 2012, 13:40

Je hebt een standaard parabool (y=x^2).
Als je deze 90 graden naar rechts draait, krijg je y=√(x) omdat x en y worden omgedraaid.
Wat krijg je als je een parabool 45 graden naar rechts draait (in de vorm y=...)?

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Parabool draaien

Bericht door SafeX » 19 jul 2012, 13:46

Dux schreef:Je hebt een standaard parabool (y=x^2).
Als je deze 90 graden naar rechts draait, krijg je y=√(x) omdat x en y worden omgedraaid.
Wat krijg je als je een parabool 45 graden naar rechts draait (in de vorm y=...)?
Dat is niet zo eenvoudig ...
Wat is je vooropleiding of in welke klas zit je?

Bovendien: y=sqrt(x) is de 'helft' van de parabool y=x².

Dux
Vast lid
Vast lid
Berichten: 74
Lid geworden op: 13 jul 2012, 12:38

Re: Parabool draaien

Bericht door Dux » 19 jul 2012, 14:22

Dat is niet zo eenvoudig ...
Wat is je vooropleiding of in welke klas zit je?


Ik zit in klas 4VWO. Ik bedacht het raadsel zelf, en heb het gisteren opgelost.
Er zijn veel doodlopende wegen, maar ik denk dat het best te doen is voor iemand
met interesse in wiskunde.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Parabool draaien

Bericht door SafeX » 19 jul 2012, 15:27

Mooi, laat maar eens zien.

Is het voor jou een raadsel ... ?

Dux
Vast lid
Vast lid
Berichten: 74
Lid geworden op: 13 jul 2012, 12:38

Re: Parabool draaien

Bericht door Dux » 20 jul 2012, 13:36

Eigenlijk is dit inderdaad geen raadsel, SafeX, maar een wiskundig probleem.
Hierbij de oplossing:

Als je een assenstelsel met x en y tekent en schuin daardoor een assenstelsel x’ en y’, dan geldt voor de schuine parabool (y’=x’²).
Afbeelding
Aan de driehoek in de figuur met twee zijden || kun je zien dat x²+x²=(x’+y’)²
Voor de parabool geldt y’=x’², dus uitwerken geeft
2x²=(x’+x’²)²
x√2=x’+x’^2
x’²+x’-x√2=0 [1]

Afbeelding

In deze figuur zie je aan de kleine driehoek met zijden || dat de schuine zijde gelijk is aan y’-x’ en dus dat
2y²=(x’²-x’)²
y√2=x’²-x’ [2]

Uit [1] kun je met de abc formule halen dat

Afbeelding

Invullen in [2] geeft

Afbeelding

Afbeelding

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Parabool draaien

Bericht door wnvl » 20 jul 2012, 14:05

Om er een raadsel van te maken moet je misschien iets meer een verhaal bouwen rond het probleem.

Parametrische vergelijking parabool:



Rotatie 45 graden naar rechts kan voorgesteld worden door matrix product:



Dit levert de volgende parametervergelijking op voor de geroteerde parabool.


SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Parabool draaien

Bericht door SafeX » 20 jul 2012, 15:27

@wnvl
Is het niet verstandig om eerst eens te vragen of de TS matrices ooit gezien heeft?

@Dux
Knap gedaan, ik moet het nog controleren. Maar het ziet er goed uit.
En vind je dit eenvoudig ... ?

Bovendien y=x² is een 'nette' verg. Zou je nu ook zo'n nette verg kunnen vinden, vanuit jouw berekening?

Een andere aanpak? Geïnteresseerd?

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Parabool draaien

Bericht door wnvl » 20 jul 2012, 16:06

Dux schreef:
Afbeelding
Er lijkt mij iets niet te kloppen aan de formule voor grote negatieve waarden voor x.
Dan moet de wortel uit een negatief getal genomen worden.

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Parabool draaien

Bericht door wnvl » 20 jul 2012, 16:10

SafeX schreef:@wnvl
Is het niet verstandig om eerst eens te vragen of de TS matrices ooit gezien heeft?
4vwo - ik veronderstel dat dit equivalent is met vierde middelbaar in België.
Ik denk dat het dan moet lukken om een 2x2 matrixvermenigvuldiging te begrijpen.
Maar mocht dat niet zo zijn dan hoor ik het graag.

Het concept rotatiematrix wordt hier uitgelegd

http://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiematrix

Jánošík
Gevorderde
Gevorderde
Berichten: 112
Lid geworden op: 25 mar 2012, 19:57

Re: Parabool draaien

Bericht door Jánošík » 20 jul 2012, 16:44

wnvl schreef:
Dux schreef:
Afbeelding
Er lijkt mij iets niet te kloppen aan de formule voor grote negatieve waarden voor x.
Dan moet de wortel uit een negatief getal genomen worden.
Het domein van de functie is

Afbeelding

Gebruikersavatar
wnvl
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1490
Lid geworden op: 05 okt 2011, 16:30

Re: Parabool draaien

Bericht door wnvl » 20 jul 2012, 16:49

Klopt, ik was te snel met mijn opmerking.

Dux
Vast lid
Vast lid
Berichten: 74
Lid geworden op: 13 jul 2012, 12:38

Re: Parabool draaien

Bericht door Dux » 20 jul 2012, 18:09

4vwo - ik veronderstel dat dit equivalent is met vierde middelbaar in België.
Ik denk dat het dan moet lukken om een 2x2 matrixvermenigvuldiging te begrijpen.
Maar mocht dat niet zo zijn dan hoor ik het graag.

Het concept rotatiematrix wordt hier uitgelegd

http://nl.wikipedia.org/wiki/Rotatiematrix
Wij hebben op school nog geen matrices behandeld (ik heb trouwens ook geen wiskunde D),
maar ik denk dat ik met wikipedia een heel eind kom. Ik meld het wel mocht dat niet lukken.

SafeX
Moderator
Moderator
Berichten: 14278
Lid geworden op: 29 dec 2005, 11:53

Re: Parabool draaien

Bericht door SafeX » 20 jul 2012, 22:12

SafeX schreef:
@Dux
Knap gedaan, ik moet het nog controleren. Maar het ziet er goed uit.
En vind je dit eenvoudig ... ?
Ik heb het nagelopen en nogmaals dit heb je knap opgelost.


Toch: y=x² is een 'nette' verg. Zou je nu ook zo'n nette verg kunnen vinden, vanuit jouw berekening?


Een andere aanpak (zonder matrices)? Geïnteresseerd?

Dux
Vast lid
Vast lid
Berichten: 74
Lid geworden op: 13 jul 2012, 12:38

Re: Parabool draaien

Bericht door Dux » 21 jul 2012, 09:48

SafeX schreef:
SafeX schreef:
En vind je dit eenvoudig ... ?
Toch: y=x² is een 'nette' verg. Zou je nu ook zo'n nette verg kunnen vinden, vanuit jouw berekening?

Een andere aanpak (zonder matrices)? Geïnteresseerd?
Wat betreft een nette vergelijking is dit het mooiste wat ik er van kan maken:

Afbeelding

Eenvoudigheid: er zijn niet veel briljante inzichten nodig voor deze methode (namelijk 2 verg. zoeken en dan oplossen voor y), maar het kan vast simpeler.

Andere aanpak? Kom maar op :D

arno
Vergevorderde
Vergevorderde
Berichten: 1923
Lid geworden op: 25 dec 2008, 16:28
Locatie: Beek en Donk, Noord-Brabant

Re: Parabool draaien

Bericht door arno » 21 jul 2012, 11:06

wnvl schreef:
SafeX schreef:@wnvl
Is het niet verstandig om eerst eens te vragen of de TS matrices ooit gezien heeft?
4vwo - ik veronderstel dat dit equivalent is met vierde middelbaar in België.
Niet helemaal. In het leerplan van 1968 kwamen matrices alleen aan de orde bij wiskunde II, wat een keuzevak was voor het vvo (qua niveau vergelijkbaar met het vijfde/zesde middelbaar), maar afgezien van eenvoudige regels met betrekking tot optellen en vermenigvuldiging van matrices, wat voor de Tweede Fase een onderdeel was van Wiskunde A voor vwo en nu uitsluitend deel uitmaakt van Wiskunde C voor vwo, komen matrices hier in Nederland alleen uitgebreid aan bod in het HBO (onderwijs op bachelorniveau) en het universitair (wiskunde)onderwijs.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Plaats reactie