segmentschakeling

Bericht door **op=op** » 22 aug 2012, 17:13

We beginnen met twee gehele getallen, zeg 2 en 3.
Segment $I_1 = [2,3]$ wordt nu verdeeld in 2 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_2$ .
Verdeel dan $I_2$ in 3 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_3$ .
Verdeel dan $I_3$ in 4 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_4$ .
Verdeel dan $I_4$ in 5 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_5$
enz.

Wat is het unieke getal dat in al deze segmenten ligt.

Bericht door **barto** » 22 aug 2012, 17:57

Neem eerst voor de gemakkelijkheid $[0;1]$ .
Het getal dat we zoeken is dan $\frac12+\frac12*\frac13+\frac1{4!}+\frac1{5!}+...=e-2$ , de limiet van de ondergrens van het interval omdat de grootte van het interval naar 0 nadert.
nog te bewijzen is dat $\frac1{n!}+\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\geq e\geq\sum_{k=0}^n\frac1{k!}$ , dus dat e steeds in het interval ligt.
Het rechterdeel van de ongelijkheid is duidelijk omdat $e=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}$ .
Het linkerdeel vereenvoudigt tot $\frac1{n!}\geq\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}=\frac1{n!}\sum_{k=n+1}^\infty\frac{n!}{k!}$ dus die laatste som moet kleiner zijn of gelijk aan 1:

$\sum_{k=n+1}^\infty\frac{n!}{k!}<\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}\leq\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}=e-\frac52<1$ EDIT: ik zie nu dat het hier mis gaat...

bij $[2;3]$ wordt het dan logischerwijs $e$ .

Sjoerd Job · Bericht door **Sjoerd Job** » 22 aug 2012, 18:00

op=op schreef:We beginnen met twee gehele getallen, zeg 2 en 3.
Segment $I_1 = [2,3]$ wordt nu verdeeld in 2 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_2$ .
Verdeel dan $I_2$ in 3 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_3$ .
Verdeel dan $I_3$ in 4 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_4$ .
Verdeel dan $I_4$ in 5 gelijke stukken.
Noem het tweede stuk $I_5$
enz.

Wat is het unieke getal dat in al deze segmenten ligt.

Lengte $I_k$ is $1/k!$ .
Dus we zoeken eigenlijk $2 + \sum_{k=2}^\infty 1/k! = \sum_{k=0}^\infty 1/k! = e$

--- Edit ---
Toppy barto!

Bericht door **barto** » 22 aug 2012, 18:11

barto schreef: $\sum_{k=n+1}^\infty\frac{n!}{k!}<\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}\leq\sum_{k=3}^\infty\frac1{k!}=e-\frac52<1$ EDIT: ik zie nu dat het hier mis gaat...

kunnen we hier niet een soort van afdalende inductie voor gebruiken? :
Het is waar voor $n=\infty$ en als het waar is voor n=x, dan is het duidelijk ook waar voor n=x-1 zodat het waar is voor alle natuurlijke getallen

Bericht door **op=op** » 22 aug 2012, 19:06

Het is een bekende stelling dat als
$I_1 \supset I_2 \supset \cdots$ een rij segmenten is en
$\lim_{n\to\infty} \mbox{lengte } (I_n) = 0$ ,
dan bevat de doorsnede van al deze verzamelingen precies 1 punt.
In dit geval kan dat alleen $e$ zijn.

Het aardige is dat je uit deze constructie kunt aantonen dat $e$ niet rationaal is.

Stel namelijk dat $e = \frac{p}{q}$ ,
dan is $e = \frac{p(q-1)!}{q!}$
Dit kan niet want dan ligt $e$ in $I_q$ en daar de breedte van $I_q$ is $\frac{1}{q!}$ zou $e$ op de rand van dat segment moeten liggen. Echter $e$ ligt ook in $I_{q+1}$ en dat ligt geheel in het inwendige van $I_q$ . Conflict.

Bericht door **barto** » 22 aug 2012, 19:14

ach zo...
Ik ben er nu toch eindelijk uit hoe te bewijzen dat $\frac1{n!}\geq\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}$ :
Veronderstel dat het waar is voor n, dan hebben we $\frac1{(n+1)!}=\frac1{n+1}*\frac1{n!}\geq\frac1{n+1}\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!}=\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!*(n+1)}\\\geq\sum_{k=n+1}^\infty\frac1{k!*(k+1)}=\sum_{k=n+2}^\infty\frac1{k!}$
en dan nemen we iets triviaal zoals n=1 en hebben we inductie.

Wiskundeforum

segmentschakeling

segmentschakeling

Re: segmentschakeling

Re: segmentschakeling

Re: segmentschakeling

Re: segmentschakeling

Re: segmentschakeling