Vectorruimte of niet?

[brxpower]

Dag iedereen.

Vectorruimten zijn nieuw voor mij waardoor ik soms mijn hoofd kan breken over, waarschijnlijk, eenvoudige dingen.
Zoals deze:
Neem twee deelverzamelingen van R^3 (het kost mij wat te veel tijd om alles in TeX te zetten):
- Het xy-vlak: V0=((x,y,o) e R^3 | x,y e R)
- Het vlak parallel aan het xy-vlak door z=1: V1=((x,y,1) e R^3 | x,y e R)

Deze verzamelingen zijn deelverzamelingen als ze voldoen aan de 10 eigenschappen omtrent vectorruimten.
In mijn cursus staat:
A. Eigenschappen A2,A3,A7-A10 gelden voor elke deelverzameling van R^n en dus ook voor V0 en V1
B. dat V1 NIET voldoet aan de volgende eigenschappen:
- A1: optelling = inwendig
- A4: neutraal element O
- A5: symmetrisch element (-x)
- A6: voor elke vector x van V en elke scalair alpha e R definieert alpha.x op ondubbelzinnige manier een vector in V
C. V0 voldoet wel aan deze eigenschappen


Dit komt blijkbaar door het verschil in de z-waarde,
in V0: 0
in V1: 1

Maar waarom is dit zo?
Hou er aub rekening mee dat dit totaal nieuwe materie is voor mij.
Alvast bedankt!

Brxpower

[arie]

Je moet aantonen dat ze voldoen aan alle eisen van de definitie.
Is er ten minste 1 eis waaraan ze niet voldoen, dan is het geen vectorruimte.

Voorbeeld:
A1: optelling is inwendig:
Stel vectoren v en w element van V0,
dan is v te schrijven als (v1, v2, 0) en w als (w1, w2, 0), met v1, v2, w1, w2 element van R.
Hierdoor is
v + w = (v1+w1, v2+w2, 0)
en dit is een element van V0 (waarom?).

Ga dit ook na voor A4, A5 en A6.

A4: neem een willekeurig element v = (v1, v2, 0) van V0
Bestaat er een vector n in V0, zodanig dat v + n = v ?

A5: neem
- een willekeurig element v = (v1, v2, 0) van V0, en
- je vector n uit A4
bestaat er dan in V0 altijd een element w (= -v), zodanig dat v + w = n ?

A6: neem een willekeurig element v = (v1, v2, 0) van V0 en een scalar a.
Wat weet je dan over a*v ?

Is V0 dus een vectorruimte?



Doe ditzelfde voor V1.
Aan welk van de eisen A1, A4, A5 en A6 wordt hier wel of niet voldaan?
Wat is je conclusie?

[brxpower]

Dag arie, alvast bedankt voor je snelle antwoord.

A1 geldt voor V0 aangezien v+w=(v1+w1,v2+w2,0) ; deze vector voldoet aan de gedaante (juist woord in deze context?) van V0
A1 geldt niet voor V1, stel vectoren m en p element van V1:
m=(m1,m2,1) en p=(p1,p2,1)
m+p=(m1+p1,m2+p2,2) ; deze vector voldoet niet aan de gedaante van V1

A4 geldt voor V0 aangezien er een vector n=(0,0,0) in V0 bestaat zodat v+n=v
(v1+0,v2+0,0+0)=(v1,v2,0)=v
A4 geldt niet voor V1 aangezien er geen vector (0,0,0) in V1 bestaat, de 'gedaante' is immers (x,y,1)

A5 geldt voor V0 aangezien er voor een willekeurige vector v=(v1,v2,0) in V0 een vector w in V0 bestaat zodat:
v+w=0 ; w is te schrijven als (-v1,-v2,0)
A5 geldt niet voor V1 want : (m1+(-m1),m2+(-m2),1+1) = (0,0,2)

A6 geldt voor V0 aangezien a(v1,v2,0)=(av1,av2,0) ; wat opnieuw voldoet aan de gedaante waarin een vector van V0 gedefinieerd is.
A6 geldt niet voor V1 aangezien a(m1,m2,1)=(am1,am2,a) ; wat niet voldoet aan de gedaante waarin een vector van V1 gedefinieerd is.
opmerking bij A6: Als a=1 is dit wel mogelijk? Maar ik snap wel dat vermenigvuldigen met 1 weinig nut heeft.

Conclusie: die 1 uit (x,y,1) zorgt ervoor dat V1 geen vectorruimte is.

[arie]

A1 geldt voor V0 aangezien v+w=(v1+w1,v2+w2,0) ; deze vector voldoet aan de gedaante (juist woord in deze context?) van V0
A1 geldt niet voor V1, stel vectoren m en p element van V1:
m=(m1,m2,1) en p=(p1,p2,1)
m+p=(m1+p1,m2+p2,2) ; deze vector voldoet niet aan de gedaante van V1

Je mag ook zeggen:
v+w = (v1+w1,v2+w2,0) is element van V0
merk op dat v1+w1 en v2+w2 beide elementen van R zijn en de derde coordinaat nul is waaruit volgt dat v+w element is van V0 (volgens de definitie van V0).

Daarentegen is m+p geen element van V1 omdat de derde coördinaat 2 is.

A5 geldt voor V0 aangezien er voor een willekeurige vector v=(v1,v2,0) in V0 een vector w in V0 bestaat zodat:
v+w=0 ; w is te schrijven als (-v1,-v2,0)
A5 geldt niet voor V1 want : (m1+(-m1),m2+(-m2),1+1) = (0,0,2)

Voor elke v in V0 is er altijd een w = -v = (-v1, -v2, 0) zo dat v + (-v) = n

Voor V1 is er geen neutraal element n, dus is er ook geen p = -m zodanig dat m + (-m) = n
Let op: -m = (-m1, -m2, -1), zodat m + (-m) = (0,0,0).
Zowel -m als (0,0,0) zijn geen element van V1.

A6 geldt niet voor V1 aangezien a(m1,m2,1)=(am1,am2,a) ; wat niet voldoet aan de gedaante waarin een vector van V1 gedefinieerd is.
opmerking bij A6: Als a=1 is dit wel mogelijk? Maar ik snap wel dat vermenigvuldigen met 1 weinig nut heeft.

Als a=1 dan is a(m1,m2,1) wel element van V1, MAAR: volgens de definitie moet dit gelden voor elke waarde van a, en dat is hier niet het geval, vandaar dat A6 niet geldt voor V1.


NOOT:
- om aan te tonen dat iets een vectorruimte is moet je bewijzen dat aan ALLE eisen voldaan wordt.
- om aan te tonen dat iets GEEN vectorruimte is, heb je genoeg aan 1 eigenschap waaraan NIET voldaan wordt. V1 voldoet niet aan eis A1, dus hadden we toen al de conclusie kunnen trekken dat V1 GEEN vectorruimte is. Controle van de overige eisen was dus eigenlijk niet eens nodig.

[brxpower]

Inderdaad. Bedankt voor de extra nuancering!

[brxpower]

Verder in de cursus omtrent de berekening van eigenwaarden en eigenvectoren:

In het algemeen geval moeten we een scalair j e R vinden en een niet-nulvector x e R^n, zodat
Ax=jx <=> Ax = j.In.x <=> (A-jIn)=0 In is eenheidsmatrix
We zoeken dus in feite een niet-triviale oplossing van dit homogeen stelsel A-jIn als vierkante (nxn)-coëfficiëntenmatrix.
Dit stelsel heeft minstens een opl verschillend van de nuloplossing als de matrix A-jIn singulier is.
Dit impliceert: det(A-jIn)=0

Mijn vraag:
Waarom moet de matrix singulier zijn en dus det = 0 ?

Groeten, Bruno

[arie]

Hoeveel oplossingen heeft het stelsel
(A-jI)x=0
als A-jI regulier is, dus als de determinant ongelijk nul is ?
Wat is dan de oplossing voor x ?
Kan deze oplossing een eigenvector zijn ?