Oplossen van een matrix met parameter

Matrixrekenen, vectorruimten, groep-en ringstructuren, (lineaire) tranformaties.
Plaats reactie
Joske123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 26 jan 2014, 17:14

Oplossen van een matrix met parameter

Bericht door Joske123 » 26 jan 2014, 17:22

Hoi,

Ik heb deze opdracht moeten maken voor een test:

Opgave: Voor welke waarde(n) van k heeft volgend stelsel
• Geen oplossing
• Juist 1 oplossing
• ∞ veel oplossingen

X + kY + kZ = 1
X + Y + kZ = k
kX + kY + Z = 1
kX + Y + Z = k

Ik heb hier nooit een oplossing op gevonden. Ik heb het proberen op te lossen met de methode van Jordan-Gauss maar ben er nooit echt in geslaagd en oplossing te vinden en heb eigenlijk geen idee hoe men zo iets hoor aan te pakken.
Als iemand me hier een soort stappenplan voor kan geven zou het fantastisch zijn, elke hulp wordt zeer geapprecieerd.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oplossen van een matrix met parameter

Bericht door arie » 26 jan 2014, 19:11

Als ik 1 stap maak in je Gauss-eliminatie (= trek van de 2e, 3e en 4e vergelijking een geschikt aantal keer de eerste vergelijking af), dan krijg ik:

Code: Selecteer alles

X +  kY     + kZ       = 1
   (1-k)Y              = k-1
   (k-k^2)Y + (1-k^2)Z = 1-k
   (1-k^2)Y + (1-k^2)Z = 0
Vervolgens willen we de 2e vergelijking omzetten naar:
Y = (k-1)/(1-k) = -1
Maak nu onderscheid:

[1] voor welke waarde van k is delen door (1-k) NIET toegestaan?
Als k deze waarde aanneemt, hoe ziet bovenstaand stelsel er dan uit? (vul voor k die waarde in)
Hoeveel oplossingen heeft dat stelsel dan?

[2] voor welke waarde van k is delen door (1-k) WEL toegestaan?
Voer in dit geval die deling uit en vervolg dan je weg met de Gauss-eliminatie.

Joske123
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 26 jan 2014, 17:14

Re: Oplossen van een matrix met parameter

Bericht door Joske123 » 26 jan 2014, 20:00

[1] Niet toegestaan voor k = 1, als ik dit invul kom ik een oneindige hoeveelheid oplossingen uit.

[2] Voor k =/= 1. Dan hebben we dus y = -1

Hoor ik dan overal in het stelsel y te vervangen door -1, vervolgens de matrix op te stellen en met deze matrix dan de gauss-eliminatie uit te voeren?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3911
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Oplossen van een matrix met parameter

Bericht door arie » 26 jan 2014, 20:38

Dat kan.
We weten dat voor k =/= 1 moet gelden: y = -1
Als je die waarde voor y invult in de 3e en 4e vergelijking wordt je stelsel:

Code: Selecteer alles

X +  kY     + kZ       = 1
      Y                = -1
              (1-k^2)Z = 1 - k^2
              (1-k^2)Z = 1 - k^2
Je had ook door mogen gaan met het oorspronkelijke stelsel en dan een geschikt aantal keren de nieuwe tweede vergelijking van de 3e en 4e aftrekken (de Gauss-eliminatie zoals we die normaal uitvoeren).
Als het goed is kom je dan op hetzelfde stelsel uit.
Je mag hier ook de eerste vergelijking al vervangen door X + kZ = 1 - k.

Nu willen we de derde vergelijking delen door (1 - k^2).
Maak weer onderscheid voor de waarde(n) van k waarvoor dit WEL en waarvoor dit NIET mag.
(let op: k = 1 hadden we al uitgesloten)

Plaats reactie